: Элементарные конформные отображения

ЕЛЕЦ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ.

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: «Элементарные конфортные отображения»

Выполнила: студентка группы М-31

Е.Г. Петренко

Научный руководитель:

О.А. Саввина

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек

и . Если задан закон

, ставящий в соответствие каждому

точку (или точки) ,

то говорят, что на множестве

задана функция комплексной переменной со значениями в множестве

. Обозначают это следующим образом:

. (Часто говорят также, что

отображает множество

в множество .)

Задание функции

эквивалентно заданию двух действительных функций

и тогда , где

, . Как и в обычном

анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют

элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.

1.

- линейная функция. Определена при всех

. Отображает полную комплексную плоскость

на полную комплексную плоскость

. Функция и обратная

ей - однозначны.

Функция

поворачивает плоскость

на угол, равный ,

растягивает (сжимает) ее в

раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину

. Непрерывна на всей комплексной плоскости.

2. . Определена на

всей комплексной плоскости, причем

, . Однозначна,

непрерывна всюду, за исключением точки

. Отображает полную комплексную плоскость

на полную комплексную плоскость

, причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же

окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в

точки, лежащие вне ее, и наоборот.

3. -

показательная функция. По определению

, т.е. ,

, . Из определения

вытекают формулы Эйлера:

; ; ;

Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней.

периодична с периодом

. Отображает каждую полосу, параллельную оси

, шириной

в плоскости в полную

комплексную плоскость

. Из свойств отметим

простейшие: ,

4. -

логарифмическая функция (натуральный логарифм). По определению:

. Выражение

называется главным значением

, так что .

Определен для всех комплексных чисел, кроме

. -

бесконечно-значная функция, обратная к

. ,

5.

- общая показательная функция. По определению,

. Определена для всех

, ее главное значение

, бесконечно-значна.

6. Тригонометрические функции ;;; По определению, ; ;

;

7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями

действительной переменной, а именно:

,

Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.

Задачи с решением.

1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: , , , ,

Решение. По определению, ,, ; если , то очевидно, , ,

, ,

, , ,

, , ,

Найти суммы:

1)

2)

Решение. Пусть: , а

. Умножим вторую

строчку на , сложим

с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим:

; Преобразуя, получим:

,

3. Доказать, что: 1) 2)

3) 4)

Доказательство:

1) По определению,

2)

3) ;

Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного

аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1)

; 2) ; 3)

;

Решение: и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:

, , ,

Напомним, что

2)

, ,

3)

, ,

, .

Найти действительные и мнимые части следующих значений функций: ; ;

Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:

; ; ; ;

;

Вычислить: 1) ; 3) ; 5) ;

2) ; 4) ; 6) ;

Решение. По определению, ,

1), , ,

2) , , ,

3) , , ,

4), , ,

5), , ,

6), , ,

Найти все значения следующих степеней:

1) ; 2) ; 3) ; 4);

Решение. Выражение для любых комплексных и определяются формулой

1)

2)

3)

4) .

8. Доказать следующие равенства:

1) ;

2) ;

3)

Доказательство: 1) , если , или , откуда , или .

Решив это уравнение, получим , т.е. и

2) , если , откуда , или , следовательно,

,

3) , если , откуда , или

.

Отсюда , следовательно,