Главная » Каталог    
рефераты Разделы рефераты
рефераты
рефератыГлавная

рефератыБиология

рефератыБухгалтерский учет и аудит

рефератыВоенная кафедра

рефератыГеография

рефератыГеология

рефератыГрафология

рефератыДеньги и кредит

рефератыЕстествознание

рефератыЗоология

рефератыИнвестиции

рефератыИностранные языки

рефератыИскусство

рефератыИстория

рефератыКартография

рефератыКомпьютерные сети

рефератыКомпьютеры ЭВМ

рефератыКосметология

рефератыКультурология

рефератыЛитература

рефератыМаркетинг

рефератыМатематика

рефератыМашиностроение

рефератыМедицина

рефератыМенеджмент

рефератыМузыка

рефератыНаука и техника

рефератыПедагогика

рефератыПраво

рефератыПромышленность производство

рефератыРадиоэлектроника

рефератыРеклама

рефератыРефераты по геологии

рефератыМедицинские наукам

рефератыУправление

рефератыФизика

рефератыФилософия

рефератыФинансы

рефератыФотография

рефератыХимия

рефератыЭкономика

рефераты
рефераты Информация рефераты
рефераты
рефераты

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

Московский колледж автоматизации и радиоэлектроники

Доклад

по предмету:

«Математический анализ»

по теме:

«Знакопостоянные числовые ряды»

Выполнила: студентка

Группы 98АТП-П

Карпова М.А.

Содержание:

1. Основные определения. 3

2. Свойства сходящихся рядов. 6

3. Необходимое условие сходимости ряда (критерий Коши). 8

4. Достаточные условия сходимости рядов. 9

Признак сравнения 1. 9

Признак сравнения 2. 9

Признак Даламбера. 10

Признак Коши. 12

Интегральный признак Коши. 13

Список используемой литературы: 14

1. Основные определения.

Пусть дна числовая последовательность a1, a2, ., an, . Выражение вида

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды (1)

называется числовым рядом.

Числа a1, a2, ., an . называются

членами ряда, а член an с произвольным номером -

общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

называются частичными суммами ряда (1). Так как число членов ряда

бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность

частичных сумм

S1, S2, S3, ., Sn, .

(2)

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных

сумм (2) сходится к какому-нибудь числу S, которое в этом случае

называется суммой ряда (1). Символически это записывается так:

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды или Доклад: Знакопостоянные числовые ряды .

Если же последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется

расходящим.

Пример 1: Покажем, что ряд

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

сходится. Возьмем сумму Доклад: Знакопостоянные числовые ряды первых n членов ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды .

Поэтому

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды .

Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм данного ряда равен

единице: Доклад: Знакопостоянные числовые ряды . Таки

образом, ряд сходится, и его сумма S равна 1.

Пример 2: Установим, сходится или расходится ряд

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды .

Последовательность его частичных сумм имеет вид S1=1, S2

=0, S3=1, S4=0, . и, значит, не сходится ни к какому

пределу, поэтому данный ряд расходится.

Пример 3: Рассмотрим ряд, составленный из элементов геометрической

прогрессии Доклад: Знакопостоянные числовые ряды , Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

(3)

Частичная сумма Sn этого ряда при Доклад: Знакопостоянные числовые ряды имеет вид

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды .

Отсюда:

1) Если Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

то Доклад: Знакопостоянные числовые ряды , т.е. ряд

сходится и его сумма Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

. Например, при Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

имеем Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

2) Если Доклад: Знакопостоянные числовые ряды то Доклад: Знакопостоянные числовые ряды , т.е. ряд расходится;

3) При Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

ряд (3) принимает вид Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

В этом случае Доклад: Знакопостоянные числовые ряды ,

т.е. ряд расходится;

4) При Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

ряд (3) принимает вид Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

Для него Доклад: Знакопостоянные числовые ряды т.е. Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

при n четном и Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

при n нечетном. Следовательно, Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

не существует и ряд расходится.

Таким образом, ряд (3) является сходящимся при Доклад: Знакопостоянные числовые ряды и расходящимся при Доклад: Знакопостоянные числовые ряды .

2. Свойства сходящихся рядов.

Теорема 1: Если сходится ряд

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды , (4)

то сходится и ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды , (5)

и обратно, если сходится ряд (5), то сходится и ряд (4).

Доказательство. Пусть ряд (4) сходится и имеет сумму S, т.е. Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

. Обозначим через Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

сумму отброшенных членов ряда (4), а через Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

сумму n-k первых членов ряда (5). Тогда

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды , (6)

где Доклад: Знакопостоянные числовые ряды - некоторое

число, не зависящее от n. Из равенства (6) следует Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

, т.е. последовательность частичных сумм Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

ряда (5) имеет предел, что означает сходимость ряда (5).

Пусть теперь ряд (5) сходится и имеет сумму Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

, т.е. Доклад: Знакопостоянные числовые ряды . Тогда из

(6) следует Доклад: Знакопостоянные числовые ряды , что

означает сходимость ряда (4).

Теорема 2: Если ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

сходится и его сумма равна S, то и ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

, где с – некоторое число, также сходится, и его сумма равна cS.

Доказательство. Пусть Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

- частичная сумма ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

, а Доклад: Знакопостоянные числовые ряды - частичная

сумма ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды .

Тогда

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

.

Отсюда, переходя к пределу при Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

, получаем Доклад: Знакопостоянные числовые ряды , т.е.

последовательность частичных сумм Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

сходится к cS. Следовательно, Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

.

Теорема 3: Если ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

и Доклад: Знакопостоянные числовые ряды сходятся и их

суммы соответственно равны S и Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

, то и ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды сходится

и его сумма равна Доклад: Знакопостоянные числовые ряды .

Доказательство. Пусть Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

и Доклад: Знакопостоянные числовые ряды - частичные суммы

рядов Доклад: Знакопостоянные числовые ряды и Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

, а Доклад: Знакопостоянные числовые ряды - частичная

сумма ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды . Тогда

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

Отсюда, переходя к пределу при Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

, получаем Доклад: Знакопостоянные числовые ряды , т.е.

последовательность частичных сумм Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды сходится к Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

. Следовательно Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

3. Необходимое условие сходимости ряда (критерий Коши).

Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

существовало число Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

такое, что при Доклад: Знакопостоянные числовые ряды и Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

(n и p – натуральные числа) было выполнено неравенство

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды .

В частности, если ряд сходится, то Доклад: Знакопостоянные числовые ряды .

Теорема 4: Если ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды сходится, то его общий член стремиться к нулю, т.е. Доклад: Знакопостоянные числовые ряды .

Доказательство. По условию ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

сходится. Обозначим через S его сумму. Рассмотрим частные суммы ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

и Доклад: Знакопостоянные числовые ряды . Отсюда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

. Т.к. Доклад: Знакопостоянные числовые ряды и Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

при Доклад: Знакопостоянные числовые ряды , то

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды .

Условие Доклад: Знакопостоянные числовые ряды является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.

4. Достаточные условия сходимости рядов.

Признак сравнения 1.

Теорема 5: Для того чтобы ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы

последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Доказательство. Необходимость. Пусть ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

сходится. Это значит, что последовательность его частичных сумм имеет предел.

Всякая сходящая последовательность является ограниченной.

Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

ограничена. Т.к. ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

с неотрицательными членами, то его частичные суммы образуют не убывающую

последовательность: Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

. Монотонная ограниченная последовательность сходится, т.е. сходится ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

.

Признак сравнения 2.

Теорема 6: Пусть даны два ряда с неотрицательными членами Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

и Доклад: Знакопостоянные числовые ряды и для всех

n выполняется неравенство Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

. Тогда из сходимости ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

следует сходимость ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

, а из сходимости ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

следует сходимость ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

.

Доказательство. Обозначим через Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

и Доклад: Знакопостоянные числовые ряды соответственно

частичные суммы рядов Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

и Доклад: Знакопостоянные числовые ряды . Из неравенства Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

следует, что

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

(7)

Если ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды сходится,

то по теореме 5 (необходимость) последовательность его частичных сумм

ограничена, т.е. для любого n Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

, где М – некоторое число. Но тогда по формуле (7) и Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

, откуда по той же теореме 5 (достаточность) следует, что ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

сходится.

Если же ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

расходится, то ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

также расходится, т.к., допустив сходимость ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

получим по только что доказанному сходимость ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

, а это противоречит условию теоремы.

Пример. Ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

сходится, т.к. сходится ряд из членов геометрической прогрессии Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

, а члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда сходящейся

геометрической прогрессии: Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

.

Пример. Ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

расходится, поскольку его члены не меньше членов гармонического ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

, а гармонический ряд расходится.

Признак Даламбера.

Теорема 7: Пусть дан ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

с положительными членами и существует предел Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

. Тогда а) при Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

ряд сходится; b) при Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

ряд расходится.

Доказательство.

a) Пусть Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

и Доклад: Знакопостоянные числовые ряды . Докажем, что ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

сходится. По определению предела числовой последовательности для любого Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

существует номер N такой, что при Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

выполняется неравенство Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

. Отсюда следует, что Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

.

(8)

Т.к. Доклад: Знакопостоянные числовые ряды , то Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

можно взять настолько малым, что будет выполнено неравенство Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

. Полагая Доклад: Знакопостоянные числовые ряды , на

основании правого из неравенств (8) имеем Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

, или Доклад: Знакопостоянные числовые ряды для n=N,

N+1, N+2, . Придавая n эти значения, из последнего неравенства

получаем

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

т.е. члены ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды (9)

меньше соответствующих членов ряда, составленного из элементов геометрической

прогрессии:

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

(10)

Т.к. Доклад: Знакопостоянные числовые ряды , то ряд (10)

сходится. Тогда согласно признаку сравнения ряд (9) также сходится. Но ряд (9)

получен из данного ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

в результате отбрасывания конечного числа первых членов, следовательно, по

теореме 1 ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

сходится.

b) Пусть теперьДоклад: Знакопостоянные числовые ряды .

Докажем, что ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

расходится. Возьмем Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

настолько малым, чтобы Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

. Тогда при Доклад: Знакопостоянные числовые ряды в силу

левого из неравенств (8) выполняется неравенство Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

или Доклад: Знакопостоянные числовые ряды . Таким образом,

члены ряда, начиная с некоторого номера N, возрастают с увеличением их

номеров, т.е. общий член ряда Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

не стремится к нулю при Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

. Следовательно, согласно теореме 4, ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

расходится.

Замечание. При Доклад: Знакопостоянные числовые ряды ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

может, как сходится, так и расходится. В этом случае необходимо дополнительное

исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.

Пример: Ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды сходится, так как

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

Пример: Ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды расходится, так как

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

Признак Коши.

Теорема 8: Пусть дан ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды с положительными членами.

a) Если Доклад: Знакопостоянные числовые ряды Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

(11)

то он сходится; если же

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды Доклад: Знакопостоянные числовые ряды (12)

то он расходится.

b) Если Доклад: Знакопостоянные числовые ряды Доклад: Знакопостоянные числовые ряды , (13)

то при q<1 ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды сходится, а при q>1 расходится, и при этом Доклад: Знакопостоянные числовые ряды .

c) Если верхний предел Доклад: Знакопостоянные числовые ряды Доклад: Знакопостоянные числовые ряды , (14)

то ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды при

q<1 сходится, а при q>1 расходится и при этом общий член Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

ряда не ограничен.

Интегральный признак Коши.

Теорема 9: Пусть дан ряд

Доклад: Знакопостоянные числовые ряды ,

члены которого являются значениями некоторой функции f(x), положительной,

непрерывной и убывающей на полуинтервале [1, +¥). Тогда, если Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

сходится, то сходится и ряд Доклад: Знакопостоянные числовые ряды

также расходится.

Список используемой литературы:

1. «Курс математического анализа», автор – Никольский С.М., г.

Москва, изд. «Наука», 1990г.

2. «Высшая математика», автор – Щипачев А.В., г. Москва, изд.

«Высшая школа», 1996г.

рефераты Рекомендуем рефератырефераты

     
Рефераты @2011