Доклад: Тригонометрия
Гуманитарная гимназия № 8
Р Е Ф Е Р А Т
ПО ГЕОМЕТРИИ НА ТЕМУ:
«ТРИГОНОМЕТРИЯ. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ И ИСТОРИЯ»
Выполнил ученик 8 «Б» класса
Силкович Дмитрий
Минск -2003 ТРИГОНОМЕТРИЯ
Предмет тригонометрии
Слово «тригонометрия» искусственно составлено из греческих слов: «тригонон» -
треугольник и «метрезис» - измерение (соответствующим русским термином было бы
треугольникомерие»). Основная задача тригонометрии состоит в решении
треугольников, т.е. в вычислении неизвестных величин треугольника по данным
значениям других его величин. Так, в тригонометрии решают задачу о вычислении
углов треугольника по данным его сторонам, задачу о вычислении сторон
треугольника - по площади и двум углам и т. д.. Так как любую вычислительную
задачу геометрии можно свести к решению треугольников, то тригонометрия
охватывает своими применениями всю планиметрию и стереометрию и широко
применяется во всех отделах естествознания и техники.
Учение о решении сферических треугольников называется сферической
тригонометрией, в противоположность этому учение о решении обычных
треугольников называют плоской или прямолинейной тригонометрией.
Углы произвольного треугольника нельзя связать непосредственно с его
сторонами с помощью алгебраических соотношений. Поэтому тригонометрия вводит
в рассмотрение, кроме самих углов, еще новые количества, так называемые
тригонометрические величины. Эти величины уже можно связать со сторонами
треугольника простыми алгебраическими соотношениями. С другой стороны, по
данному углу можно вычислить соответствующее значение тригонометрической
величины, и обратно. Правда, эти вычисления требуют длительных и утомительных
расчетов, но эта работа проделана раз навсегда и закреплена в таблицах.
Значение каждой тригонометрической величины изменяется с изменением угла,
которому она соответствует; другими словами, тригонометрическая величина есть
функция угла. Отсюда наименование: тригонометрические функции.
Между различными тригонометрическими функциями существуют важные зависимости.
Использование их позволяет сокращать и облегчать вычисления. Часть
тригонометрии, посвященная изучению этих соотношений, называется
гониометрией, т. е. «угломерием» («гонйа» - по-гречески «угол»).
Исторические сведения о развитии тригонометрии
Потребность в решении треугольников раньше всего возникла в астрономии, и в
течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из
разделов астрономии.
Насколько известно, способы решения треугольников (сферических) впервые были
письменно изложены греческим астрономом Гиппархом в середине 2 века до н. э.,
но его сочинение до нас не дошло. Наивысшими достижениями греческая
тригонометрия обязана астроному Птолемею (2 век н. э.), создателю
геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника.
Греческие астрономы не знали синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц
этих величин они употребляли таблицы, позволявшие отыскивать хорду окружности
по стягиваемой дуге. Дуги измерялись в градусах и минутах; хорды тоже
измерялись градусами (один градус составлял шестидесятую часть радиуса),
минутами и секундами. Это шестидесятеричное подразделение греки заимствовали
у вавилонян.
Таблицы, составленные Птолемеем, содержали хорды всех дуг через
каждые ½ градусов, вычисленные с точностью до секунды. С помощью
интерполяции по ним можно было найти с той же точностью хорду любой дуги. При
вычислении таблиц Птолемей опирался на открытую им теорему о диагоналях
вписанного четырехугольника. Таблица Птолемея равносильна пятизначной,
таблице значений синуса через ¼ градуса. Если взять центральный угол,
опирающийся на половину рассматриваемой дуги, то хорда будет удвоенной линией
синуса этого угла. Поэтому таблица Птолемея равносильна пятизначной, таблице
значений синуса через ¼ градуса.
Значительной высоты достигла тригонометрия и у индийских средневековых
астрономов. Как и греки, индийцы заимствовали вавилонское градусное измерение
дуг. Но индийцы рассматривали не хорды дуг, а линии синусов и косинусов (т. е.
линии РМ и ОР для дуги АМ на рисунке). Кроме того,
рассматривалась линия РА, получившая позднее в Европе название
«синус-верзус».
За единицу измерения отрезков МР, ОР, РА принималась дуговая
минута. Так, линия синуса дуги AB=90 градусов есть ОВ - радиус
окружности; дуга AL, равная радиусу, содержит (округленно) 57°
18'= 3438'. Поэтому синус дуги 90° считался равным 3438'.
Дошедшие до нас индийские таблицы синусов (древнейшая составлена в 4 - 5 веке
н. э.) не столь точны, как птолемеевы; они составлены через 3°45' (т. е.
через 1/24 часть дуги квадранта).
Дальнейшее развитие тригонометрия получила в 9-14 веках в трудах арабо-
язычных авторов. В 10 веке багдадский ученый Мухаммед из Буджана,
известный под именем Абу-ль-Вафа, присоединил к линиям синусов и
косинусов линии тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов. Он дает им те
же определения, которые помещаются в наших учебниках. Абу-ль-Вафа
устанавливает также основные соотношения между этими линиями. В руках
знаменитого мусульманского ученого Насир эд-Дина из Туса (1201 - 1274)
тригонометрия становится самостоятельной научной дисциплиной
самостоятельной научной дисциплиной. Насир эд-Дин систематически
рассматривал все случаи решения плоских и сферических треугольников и
указал ряд новых способов решения.
В 12 веке был переведен с арабского языка на латинский ряд астрономических
работ, и по ним впервые европейцы познакомились с тригонометрией. В это время
появился латинский термин «синус», что означает «пазуха» или «карман». Это -
перевод арабского слова «джейб», имеющего то же значение. Как появился этот
арабский термин, неизвестно. Некоторые полагают, что он произошел из
индийского (санскритского) слеза «жиа» или «жива» (первое значение - тетива;
в геометрии - хорда). Но синус в индийской терминологии именуется «ардха-
жиа», т. е. полухорда.
Название «косинус» появилось только в начале 17 века как сокращение
наименования complementi sinus (синус дополнения), указывающего, что
косинус угла А есть синус угла, дополняющего угол А до 90°. Наименования
«тангенс» и «секанс» (в переводе с латинского означающие «касательная» и
«секущая») введены в 1583 г. немецким ученым Финком.
Однако со многими достижениями арабоязычной науки европейцам не удалось
познакомиться своевременно. В частности, им осталась неизвестной работа Насир
эд-Дина. Выдающийся немецкий астроном 15 века Региомонтан (1436-1476) через
200 лет после Насир эд-Дина заново открыл его теоремы.
Региомонтан составил обширные таблицы синусов (через 1 минуту с точностью до
седьмой значащей цифры). Он впервые отступил от шестидесятеричного деления
радиуса и за единицу измерения линии синуса принял одну десятимиллионную
часть радиуса. Таким образом, синусы выражались целыми числами (а не 60-
ричными дробями). До введения десятичных дробей оставался только один шаг. Но
он потребовал более 100 лет.
За таблицами Региомонтана последовал ряд других, еще более подробных. Друг
Коперника Ретикус (1514-1576) вместе с несколькими помощниками в течение 30
лет работал над таблицами, законченными и изданными в 1596 г. его учеником
Ото. Углы шли через 10", а радиус делился на 1 000000000000000 частей, так
что синусы имели 15 верных цифр!
Буквенные обозначения (в алгебре они появились в конце 16 века) утвердились в
тригонометрии лишь в середине 18 века благодаря русскому академику Эйлеру (1707
- 1783). Этот великий математик придал всей тригонометрии ее современный вид.
Величины sin x,cos x и т. д. он рассматривал как функции числа х -
радианной меры соответствующего угла. Эйлер давал числу х всевозможные
значения: положительные, отрицательные и даже комплексные. Он ввел и обратные
тригонометрические функции.
Литература
1. М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике, Изд. Наука,
Москва, 1965. |
