Доклад: Основная Теорема Алгебры
Основная теорема алгебры.
Всякий многочлен с любыми комплексными коэффициентами , степень которого не
меньше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
План доказательства.
Лемма №1. Многочлен f(x) является непрерывной функцией
комплексного переменного x.
Лемма №2. Если данн многочлен n-ой степени, n>0,
f(x)=a0xn+a1xn-1+.+an
с произвольными комплексными коэффициентами и если k- любое
положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю
значений
|anxn|>k|axn-1+anxn-2+..+a0|
Лемма №3.
Лемма №4.(Лемма Даламбера).
Лемма №5.
Если действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывна в
замкнутом круге Е, то она ограничена.
Лемма №6.
Действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывная в
замкнутом круге Е достигает своего минимума и максимума.
Доказательство основной теоремы.
Лемма №1.
Надо доказать, что  |f(x0+x)-f(x0)|<e.
Докажем Лемму №1 сначала для многочлена без свободного члена и при x0=0
Если A=max(|a0 |,|a1|,.,|a n-1|) и  (1)
то |f(x)|=|a0xn+.+an-1x| 
 ,
т.к |x|<б ,и из (1) б<1, то
т.к. a0=0 то f(0)=0 
Что и требовалось доказать.
Теперь докажем непрерывность любого многочлена.
f(x0+x)=a0(x0+x)n+.+an
pаскрывая все скобки по формуле бинома и собирая вместе члены с
одинаковыми степенями x получим
Многочлен g(x)-это многочлен от x при x0 =0 и а0=0  |f(x0+x)-f(x)|=|g(x)|<e
Лемма доказана.
Лемма №2
Если дан многочлен n-ой степени, n>0,
f(x)=a0xn+a1xn-1+.+an
с произвольными комплексными коэффициентами и если k- любое
положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю
значений x верно неравенство:
|a0xn|>k|a1xn-1+a2xn-2+..+an| (2)
Доказательсво.
Пусть А=max( ), тогда
пологая |x|>1, получим
откуда
следовательно неравенство (2) будет выполняться если |x|>1 и
Лемма №2 доказана.
Лемма №3.
Доказательство.
(3)
применим лемму 2: при k=2 существует такое N1 , что при |x|> N1
|a0xn|>2|a1xn-1+a2xn-2+..+an|
откуда
|a1xn-1+a2xn-2+..+an|<|a0xn|/2
тогда из (3)
при |x|>N=max(N1 ,N2) |f(x)|>M что и тебовалось доказать.
Лемма №3(Лемма Даламбера).
Если при x=x0 многочлен f(x) степени n,
не обращаеться в нуль, то существует такое приращение h, в общем случае
комплексное, что
|f(x0+h)|<|f(x)|
Доказательство.
По условию f(x0) не равно нулю, случайно может быть так, что x0
является корнем f’(x),..,f(k-1) (x). Пусть k-я производная будет
первой, не имеющей x0 своим корнем. Такое k существует т.к.
f(n)( x0)=n!a0
Таким образом
Т.к f(x0) не равно нулю то поделим обе части уравнения на f(x0)
и обозначим 
Теперь будем выбирать h. Причем будем отдельно выбирать его модуль и его
аргумент.
По лемме№1: 
С другой стороны при
 (4)
Пусть |h|<min(б1, б2), тогда
Теперь выберем аргумент h так, чтобы ckhk было
действительным отрицательным числом.
При таком выборе ckhk=-| ckhk| следовательно учитывая (4) получим
Что доказывает лемму Даламбера.
Лемма №5.
Если действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывна в
замкнутом круге Е, то она ограничена.
Доказательство.
Предположим, что это не верно тогда
получена бесконечная ограниченная последовательность xn,
из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность 
, пусть ее предел равен x0. Так как круг Е замкнут, то x
0 пренадлежит Е. Тогда так как f(x) непрерывна
получено противоречие, следовательно неверно, предположение о неограничености
f(x).
Лемма №6.
Действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывная в
замкнутом круге Е достигает своего минимума и
максимума.
Доказательство.
Докажем это утверждение для максимума.
Так как f(x) непрерывна в Е, то она ограничена и следовательно
существует M=sup{ f(x)}. Рассмотрим функцию 
.
Если f(x) не достигает своего максимума, то M> f(x)
следовательно M-f(x)>0 , следовательно g(x) непрерывна в Е.
Полученое противоречит тому, что M=sup{ f(x)}. Следовательно
функция достигает свего максимума. Аналогично доказывается достижение минимума.
Доказательство основной теоремы.
Пусть дан многочлен f(x), очевидно что если an-свободный член, то
f(0)= an. Теперь применим лемму№3: возьмем М=|f(0)| =|an|
тогда существует такое N, что при |x|>N |f(x)|>M. Теперь возьмем круг Е
ограниченный окружностью с центром в нуле и радиусом N, включая границы круга.
Так как (по лемме №1) многочлен f(x)-непрерывен, то и |f(x)|-непрерывен внутри
замкнутого круга Е, следовательно(по лемме №6), существует такая точка x0
, что для всех x из E выполняется неравенство |f(x)|>=|f(x0)|. x
0 является точкой минимума для |f(x)| внутри E. Т.к для любого x:|x|>N
|f(x)|>M>|f(0)|>|f(x0)| точка x0 является точкой
минимуа |f(x)| на всей комплексной плоскости.
|f(x0)|=0 т.к по лемме Даламбера если |f(x0)|¹0 то x
0 не точка минимума для |f(x)|Þ x0-корень многочлена
f(x).
Теорема доказана.
|
