Доклад: Аппроксимация функций
Аппроксимация функций.
Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:
1) аналитический
2) графический
3) табличный
Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента.
Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения
переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений
определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей,
а действие замены аппроксимацией.
Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по
f(x) можно рассмотреть другую функцию φ(ч) близкую в некотором смысле к
f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку
погрешность такой замены.
φ(х)- аппроксимирующая функция.
Интерполяция (частный случай аппроксимации)
Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x0 f(x0
) требуется построить аппроксимирующюю функцию j(x) совпадающую в узлах с x
i c заданной, то такой способ называется интерполяцией
При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с
помощью многочлена, имеющего общий вид
j(x)=pn(x)=anxn+an-1xn-1+.+a0
В данном многочлене необходимо найти коэффициенты an ,an-1
, .a0 , так как задачей является интерполирование, то определение
коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:
Pn(xi)=yi i=0,1,.n
Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального
вида, к ним относится и полином Лагранжа Ln(x).
 i¹j
В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не
совпадает с заданной функцией .
Задание
С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение функции y в
точке xc, узлы интерполяции расположены равномерно с шагом Dх=4,1
начиная с точки х0=1,3 даны значения функции
y={-6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27}.
ГСА для данного метода
CLS
DIM Y(9)
DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27
X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10
FOR I = 0 TO N - 1
1 X(I) = X0 + H * I
READ Y(I)
PRINT Y(I); X(I)
NEXT I
S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0
FOR I = 0 TO N - 1
2 S1 = S1 + X(I) ^ 2
S2 = S2 + X(I)
S3 = S3 + X(I) * Y(I)
S4 = S4 + Y(I)
NEXT I
D = S1 * N - S2 ^ 2
D1 = S3 * N - S4 * S2
D0 = S1 * S4 - S3 * S2
A1 = D1 / D: A0 = D0 / D
YC = A1 * XC + A0
PRINT "A0="; A0, "A1="; A1, "YC="; YC
FOR X = 0 TO 50 STEP 10
Y = A1 * X + A0
PRINT X, Y
NEXT X
END
XC= 10
Х Y
1.3 -6.56
5.4 -3.77
9.5 -1.84
13.6 .1
17.7 2.29
21.8 4.31
25.9 5.86
30 8.82
34.1 11.33
38.2 11.27
S=-1.594203
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.
В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде
функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в
виде набора точек с координатами (xi,yi),
i=0,1,2,...n, где n - общее количество точек. Как правило, эти
табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. При
аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную
зависимость (например, полином), которая позволила бы "сгладить"
экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные
значения функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации.
Графическая интерпретация аппроксимации.
Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью
соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием точности или
достаточно "хорошего" приближения могут служить несколько условий.
Обозначим через fi значение, вычисленное из функциональной
зависимости для x=xi и сопоставляемое с yi
.
Одно из условий согласования можно записать как
S =
 (fi-yi) ® min ,
т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=x
i должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь
разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается.
Использование критерия S =
 |fi-y
i| ® min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет
производной в точке минимума.
Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов
, т.е. определяют такую функциональную зависимость, при которой
S =
(fi-yi)2 , (1)
обращается в минимум.
В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен
f(x)=C0 + C1X + C2X2+...+CMXM. (2)
Формула (1) примет вид S =
 ( C0 + C1Xi + C2Xi2+...+CMXiM - Yi ) 2
Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по
независимым переменным С0,С1,...СМ :
SC0 = 2
( C0 + C1 Xi + C2 Xi2+...+CM XiM - Yi ) = 0 ,
SC1 = 2
( C0 + C1 Xi + C2 Xi2+...+CM XiM - yi ) Xi = 0 ,
.............................................................................
.................... (3)
SCM = 2
( C0 + C1 Xi + C2 Xi2+...+CM XiM - Yi ) XiM = 0 ,
Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений
C0  (N+1) + C1
 Xi + C2
 Xi2 +...+ CM
 XiM =
 Yi ,
C0
 Xi + C1
 Xi2 + C2
 Xi3 +...+ CM
 XiM+1 =
 Yi Xi ,
.......................................................................................................
(4)
C0
 XiM + C1
 XiM+1 + C2
 XiM+2 +...+ CM
 Xi2M =
Yi XiM .
Для определения коэффициентов Сi и, следовательно, искомой
зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4).
Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и
положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении.
| (N+1) |  Xi
|  Xi2
| ... |  XiM
|  Yi
| | | Xi |  Xi2
|  Xi3
| ... |  XiM+1
| 
Yi Xi | | | ... | ... | ... | ... | ... | ... | | | XiM |  XiM+1
|  XiM+2
| ... |  Xi2M
|  Yi XiM
| |
Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно
вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные
элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью циклического
присвоения.
Задание
Найти коэффициенты прямой и определить значение функции y{-6.56,-3.77,
-1.84,0.1,2.29,4.31,5.56,8.82,11.33,11.27}, x0=1.3 h=4.1, и определить
интеграл заданной функции.
Программа
¦CLS
¦XC = 10: X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10
¦DIM Y(9): DIM X(9)
¦DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27
¦FOR I = 0 TO N - 1
¦X = X0 + H * I:
¦X(I) = X
¦READ Y(I)
¦PRINT X(I), Y(I)
¦NEXT I
¦S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0
¦I = 0
¦10 S1 = S1 + X(I) ^ 2:
¦S2 = S2 + X(I):
¦S3 = S3 + X(I) * Y(I):
¦S4 = S4 + Y(I)
¦I = I + 1
¦IF I <= N - 1 THEN 10
¦D = S1 * N - S2 ^ 2:
¦D1 = S3 * N - S2 * S4:
¦D0 = S1 * S4 - S2 * S3
¦A1 = D1 / D:
¦A0 = D0 / D
¦Y = A1 * XC + A0
¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0="; A0,
¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1="; A1,
¦PRINT TAB(2); "ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y="; Y
¦FOR X = 10 TO 50 STEP 10
¦Y = A1 * X + AO
¦PRINT X, Y
¦NEXT X
¦FOR I = 1 TO N - 1
¦S = S + Y(I): NEXT I
¦D = H / 2 * (Y(0) + Y(N - 1) + 2 * S)
¦PRINT "ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D="; D
Ответы
Х Y
1.3 -6.56
5.4 -3.77
9.5 -1.84
13.6 .1
17.7 2.29
21.8 4.31
25.9 5.86
30 8.82
34.1 11.33
38.2 11.27
КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0=-6.709182
КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1= .5007687
ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y=-1.701495
10 5.007687
20 10.01537
ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D= 166.9725
|
