Главная » Каталог    
рефераты Разделы рефераты
рефераты
рефератыГлавная

рефератыБиология

рефератыБухгалтерский учет и аудит

рефератыВоенная кафедра

рефератыГеография

рефератыГеология

рефератыГрафология

рефератыДеньги и кредит

рефератыЕстествознание

рефератыЗоология

рефератыИнвестиции

рефератыИностранные языки

рефератыИскусство

рефератыИстория

рефератыКартография

рефератыКомпьютерные сети

рефератыКомпьютеры ЭВМ

рефератыКосметология

рефератыКультурология

рефератыЛитература

рефератыМаркетинг

рефератыМатематика

рефератыМашиностроение

рефератыМедицина

рефератыМенеджмент

рефератыМузыка

рефератыНаука и техника

рефератыПедагогика

рефератыПраво

рефератыПромышленность производство

рефератыРадиоэлектроника

рефератыРеклама

рефератыРефераты по геологии

рефератыМедицинские наукам

рефератыУправление

рефератыФизика

рефератыФилософия

рефератыФинансы

рефератыФотография

рефератыХимия

рефератыЭкономика

рефераты
рефераты Информация рефераты
рефераты
рефераты

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Министерство общего и профессионального образования

Сочинский государственный университет туризма

и курортного дела

Педагогический институт

Математический факультет

Кафедра общей математики

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Ряды Фурье и их приложения

В математической физике.

Выполнила: студентка 5-го курса

подпись дневной формы обучения

Специальность 010100

„Математика”

Касперовой Н.С.

Студенческий билет № 95471

Научный руководитель: доцент, канд.

подпись техн. наук

Позин П.А.

Сочи, 2000 г.

Содержание:

1. Введение.

2. Понятие ряда Фурье.

2.1. Определение коэффициентов ряда Фурье.

2.2. Интегралы от периодических функций.

3. Признаки сходимости рядов Фурье.

3.1. Примеры разложения функций в ряды Фурье.

4. Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье

5. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

6. Ряды Фурье для функций с периодом 2 l.

7. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Введение.

Жан Батист Жозеф Фурье - французский математик, член Парижской Академии

Наук (1817).

Первые труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 он изложил

теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между

данными границами (опубл. 1820), названную его именем; полное решение о числе

действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 Ж.Ш.Ф.

Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного

Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных

результатах, полученных в 1768 французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом

работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ

определённых уравнений», изданный посмертно в 1831.

Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811

он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории

распространении тепла в твёрдом теле, а в 1822 опубликовал известную работу

«Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую роль в последующей истории

математики. Это – математическая теория теплопроводности. В силу общности

метода эта книга стала источником всех современных методов математической

физики. В этой работе Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности

и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал

для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных

условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду

частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление

функций тригонометрическими рядами Фурье.

Ряды Фурье теперь стали хорошо разработанным средством в теории уравнений в

частных производных при решении граничных задач.

1. Понятие ряда Фурье. (стр. 94, Уваренков)

Ряды Фурье играют большую роль в математической физике, теории упругости,

электротехнике и особенно их частный случай – тригонометрические ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом называют ряд вида

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

или, символической записи:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения ( 1 )

где ω, a0, a1, ., an, ., b0, b1, .,bn, .- постоянные числа (ω>0) .

К изучению таких рядов исторически привели некоторые задачи физики,

например задача о колебаниях струны (XVIII в.), задача о закономерностях в

явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических

рядов, прежде всего связано с задачей представления данного

движения, описанного уравнением у = ƒ(χ), вДиплом: Ряды Фурье и их приложения

виде суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно

большом числе, т. е. в качестве суммы ряда вида (1).

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для

данной функции ƒ(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который сходился

бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на

этом промежутке функция ƒ(x) разлагается в тригонометрический ряд.

Ряд (1) сходится в некоторой точке х0, в силу периодичности функций Диплом: Ряды Фурье и их приложения

(n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида Диплом: Ряды Фурье и их приложения

(m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости

ряда) периодической функцией: если Sn(x) – n-я частичная сумма этого ряда, то

имеем

Диплом: Ряды Фурье и их приложения Диплом: Ряды Фурье и их приложения

а потому и Диплом: Ряды Фурье и их приложения Диплом: Ряды Фурье и их приложения

, т. е. S(x0+T)=S(x0). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ(x)

в ряд вида (1), будем предполагать ƒ(x) периодической функцией.

2. Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье.

Пусть периодическая функция ƒ(х) с периодом 2π такая, что она

представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в

интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда:

ƒ(x)=Диплом: Ряды Фурье и их приложения . (2)

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого

равенства, равняется сумме интегралов от членов этого ряда. Это будет

выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов

данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т. е.. сходится

положительный числовой ряд

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (3)

Ряд (1) мажорируем и его можно почленно интегрировать в промежутке

(-π, π). Проинтегрируем обе части равенства (2):

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

.

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения ,

Диплом: Ряды Фурье и их приложения ,

Диплом: Ряды Фурье и их приложения .

Таким образом, Диплом: Ряды Фурье и их приложения , откуда

Диплом: Ряды Фурье и их приложения . (4)

Оценка коэффициентов Фурье. (Бугров)

Теорема 1. Пусть функция ƒ(x) периода 2π

имеет непрерывную производную ƒ(s)(x) порядка

s, удовлетворяющей на всей действительной оси неравенству:

│ ƒ(s)(x)│≤ Ms; (5)

тогда коэффициенты Фурье функции ƒ удовлетворяют неравенству

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (6)

Доказательство. Интегрируя по частям и учитывая, что

ƒ(-π) = ƒ(π), имеем

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Поэтому

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Интегрируя правую часть (7) последовательно, учитывая, что производные

ƒ΄, ., ƒ(s-1) непрерывны и принимают

одинаковые значения в точках t = -π и t =

π, а также оценку (5), получим первую оценку (6).

Вторая оценка (6) получается подобным образом.

Теорема 2. Для коэффициентов Фурье ƒ(x) имеет место неравенство

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (8)

Доказательство. Имеем

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (9)

Вводя в данном случае замену переменной Диплом: Ряды Фурье и их приложения

и учитывая, что ƒ(x) – периодическая функция, получим

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Складывая (9) и (10), получаем

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Отсюда

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Аналогичным образом проводим доказательство для bk.

Следствие. Если функция ƒ(x) непрерывна, то её

коэффициенты Фурье стремятся к нулю: ak → 0

, bk → 0, k → ∞.

Пространство функций со скалярным произведением.

Функция ƒ(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a,

b], если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, может быть,

конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода. Такие точки можно

складывать и умножать на действительные числа и получать как результат снова

кусочно-непрерывные на отрезке [a, b] функции.

Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных на [a,

b] (a < b) функций ƒ и φ будем

называть интеграл

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (11)

Очевидно для любых кусочно-непрерывных на [a, b]

функций ƒ , φ , ψ выполняются свойства:

1)

(ƒ , φ ) =( φ, ƒ );

2)

(ƒ , ƒ ) и из равенства (ƒ , ƒ ) = 0 следует, что ƒ(x)

=0 на [a, b], исключая, быть может, конечное число точек

x;

3)

(α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β (

φ , ψ),

где α, β – произвольные действительные числа.

Множество всех кусочно-непрерывных функций, определенных на отрезке [a,

b], для которых введено скалярное произведение по формуле (11), мы

будем обозначать, Диплом: Ряды Фурье и их приложения и называть

пространством Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Замечание 1.

В математике называют пространством Диплом: Ряды Фурье и их приложения

= Диплом: Ряды Фурье и их приложения (a

, b) совокупность функций ƒ(x), интегрируемых в

лебеговом смысле на [a, b] вместе со своими квадратами,

для которых введено скалярное произведение по формуле (11). Рассматриваемое

пространство Диплом: Ряды Фурье и их приложения есть часть Диплом: Ряды Фурье и их приложения

. Пространство Диплом: Ряды Фурье и их приложения обладает

многими свойствами пространства Диплом: Ряды Фурье и их приложения

, но не всеми.

Из свойств 1), 2), 3) следует важное неравенство Буняковского |

(ƒ , φ ) | ≤ (ƒ , ƒ )½ (φ , φ )

½, которое на языке интегралов выглядит так:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Величина

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

называется нормой функции f.

Норма обладает следующими свойствами:

1) || f

|| ≥ 0, при этом равенство может быть только для нулевой функции

f = 0, т. е. функции, равной нулю, за исключением, быть может,

конечного числа точек;

2) || ƒ + φ ||

≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = |

α | · || ƒ ||,

где α – действительное число.

Второе свойство на языке интегралов выглядит так:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

и называется неравенством Минковского.

Говорят, что последовательность функций { f

n }, принадлежит к Диплом: Ряды Фурье и их приложения

,сходится к функции принадлежит Диплом: Ряды Фурье и их приложения

в смысле среднего квадратического на [a, b]

(или ещё по норме Диплом: Ряды Фурье и их приложения ), если

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Отметим, что если последовательность функций ƒn

(x) сходится равномерно к функции ƒ(x) на отрезке [a,

b], то для достаточно больших n разность

ƒ(x) - ƒn (x) по абсолютной величине должна

быть мала для всех х из отрезка [a, b].

В случае же, если ƒn (x) стремится к ƒ(x)в

смысле среднего квадратического на отрезке [a, b], то

указанная разность может и не быть малой для больших n

всюду на [a, b]. В отдельных местах отрезка [a,

b] эта разность может быть и велика, но важно только, чтобы интеграл

от её квадрата по отрезку [a, b] был мал для больших

n.

Пример. Пусть на [0, l ] заданна изображенная

на рисунке непрерывная кусочно-линейная функция ƒn

(x) (n = 1, 2,.), причем

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

(Бугров, стр. 281, рис. 120)

При любом натуральном n

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

и, следовательно, эта последовательность функций, хотя и сходится к нулю

при n → ∞, но неравномерно. Между тем

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

т. е. последовательность функций {fn (х)} стремится к

нулю в смысле среднего квадратического на [0, 1].

Из элементов некоторой последовательности функций ƒ1, ƒ2,

ƒ3,. (принадлежащих Диплом: Ряды Фурье и их приложения )

построим ряд

ƒ1 + ƒ2 + ƒ3 +. (12)

Сумма первых его n членов

σ n = ƒ1 + ƒ2 + . + ƒn

есть функция, принадлежащая к Диплом: Ряды Фурье и их приложения

. Если случится, что в Диплом: Ряды Фурье и их приложения

существует функция ƒ такая, что

|| ƒ- σn || → 0 (n → ∞),

то говорят, что ряд (12) сходится к функции ƒ в смысле среднего

квадратического и пишут

ƒ = ƒ1 + ƒ2 + ƒ3 +.

Замечание 2.

Можно рассматривать пространство Диплом: Ряды Фурье и их приложения

= Диплом: Ряды Фурье и их приложения (a,

b) комплекснозначных функций ƒ(x) = ƒ1(x) + i

ƒ2(x), где ƒ1(x) и ƒ2(x) – действительные кусочно – непрерывные

на [a, b] функции. В этом пространстве функции умножаются

на комплексные числа и скалярное произведение функций ƒ(x) = ƒ1(x) +

iƒ2(x) и φ(х) = φ1(х) +i

φ2(х) определяется следующим образом:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

а норма ƒ определяется как величина

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

2.1. Интегралы от периодических функций.

Пусть ƒ(x) – периодическая функция, с периодом Т, интегрируемая на

любом сегменте вида [х0, х0+Т]. Тогда величина интеграла Диплом: Ряды Фурье и их приложения

остаётся при любом х0 одной и той же: для любых х0, х0'

Диплом: Ряды Фурье и их приложения .

2.2. Интегралы от некоторых тригонометрических Диплом: Ряды Фурье и их приложения функций.

Укажем значения некоторых интегралов:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (k = 1,2,.), (13)

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (k =1,2,..; m =1,2,.), (14)

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (15)

(k =1,2,.; m =1,2,.; k ≠ m),

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (k =1,2,.) (16)

Теперь можем вычислить коэффициенты Фурье ak и

bk ряда (2). Для разыскания коэффициента an при каком-либо

определенном значении n≠0 умножим обе части

равенства (2) на cosnx и произведя математические операции

в пределах от –π до π, получим:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (17)

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (18)

Диплом: Ряды Фурье и их приложения Коэффициенты,

определенные по формулам (4), (17), (18) называются

коэффициентами Фурье функции ƒ(x), а составленный тригонометрический

ряд (18) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции

ƒ(x).

В некоторых случаях, для более узких классов функций, формулы (17), (18)

были известны ещё Эйлеру. Таким образом, эти формулы ещё называют формулами

Эйлера-Фурье.

Обратим внимание, что постоянная Диплом: Ряды Фурье и их приложения

в (2) пишется в таком виде, чтобы придать единообразие формулам (17) и (18).

Вышеприведенные соображения показывают, что поиски тригонометрического

разложения данной функции целесообразно начать с изучения её ряда Фурье,

откладывая на потом строгое изучение вопроса о том, для каких функций ряд

сходится, и притом именно к данной функции. Пока же этого не сделано, функции

ƒ(x) сопоставляют её формальный ряд Фурье, что обычно записывают в виде:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения ƒ(x) ~ Диплом: Ряды Фурье и их приложения , (19)

про который известно, что его коэффициенты вычислены по функции ƒ(x)

по формулам Эйлера – Фурье (4), (17) и (18), но ничего не утверждается о его

сходимости и тем более – о его сходимости к данной функции.

Из определения ряда Фурье не следует, что функция должна в него

разлагаться. Из сказанного выше следует только, что некоторая функция допускает

разложение в равномерно сходящийся ряд вида (19), то этот ряд будет её рядом

Фурье.

3. Признаки сходимости Диплом: Ряды Фурье и их приложения рядов Фурье. (стр. 331, Пискунов)

Зададим вопрос: какими свойствами должна обладать функция, чтобы

построенный, для неё ряд Фурье сходился и чтобы сумма построенного ряда Фурье

равнялась значениям данной функции в соответствующих точках?

Сформулируем теорему, которая даст достаточные условия представимости

функции ƒ(x) рядом Фурье. (из Пискунова)

Определение. Функция ƒ(x) называется кусочно-

монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить

конечным числом точек х1, х2, .,хn-1 на интервалы (а,

х1), (х1, х2),., (хn-1, b) так, что на каждом

из интервалов функция монотонна, т. е. либо не возрастающая, либо неубывающая.

Теорема.

Если периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π – кусочно

монотонная и ограниченная на отрезке [-π, π], то ряд Фурье,

построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда

s(x) равна значению функции ƒ(x) в точках непрерывности функции.

В точках разрыва функции ƒ(x) сумма ряда равняется среднему

арифметическому пределов функции ƒ(x) справа и слева, т. е. если х = с –

точка разрыва функции ƒ(x), то

Диплом: Ряды Фурье и их приложения .

Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье,

довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных отделах

математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике и

её приложениях к конкретным задачам механики и физики.

Этот вопрос можно решить с помощью теоремы Дирихле. («Краткий курс

высшей математики», Шнейдер и др., стр. 181)

При выводе формул (4), (17), (18) мы заранее предполагали, что функция

ƒ(x) разлагается в правильно сходящийся тригонометрический ряд (1). Если

же такого предположения не делать, а допустить, что для функции ƒ(x)

существуют все интервалы, стоящие в правых частях формул (4), (17), (18), то по

этим формулам можно вычислить коэффициенты a0, ak и bk и составить

тригонометрический ряд (1), который представляет собой ряд Фурье,

соответствующий данной функции.

Является ли построенный таким образом ряд Фурье сходящимся и если он

сходится, то имеем ли мы право утверждать, что он сходится именно к функции

ƒ(x), с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда?

Оказывается, что сходимость ряда Фурье к заданной функции имеет место для

довольно широкого класса функций. Достаточные условия сходимости ряда Фурье, и,

следовательно, возможность разложения функций в ряд Фурье даются теоремой

Дирихле. Прежде чем формулировать эту теорему, введем два определения.

Функция ƒ(x) называется кусочно-монотонной на сегменте [

a, b], если этот сегмент можно разделить на

конечное число сегментов, внутри каждого, из которых функция либо только

возрастает, либо только убывает, либо постоянна.

Основное определение. Функция ƒ(x) называется

удовлетворяющей условиям Дирихле на сегменте [a,

b], если:

1)функция непрерывна на сегменте [a

, b] или же имеет

на нем конечное число точек разрыва 1 рода;

2) функция кусочно-монотонна на сегменте [a, b].

3.1. Примеры разложения функций в ряды Фурье.

Пример 1. Периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π определяется

следующим образом: ƒ(x) = х , -π < x ≤ π.

Эта функция – кусочно монотонная и ограниченная. Следовательно, её можно

разложить в ряд Фурье.

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

По формуле (4) находим:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Применяя формулам (17), (18) и интегрируя по частям, получим:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

.

Таким образом, получаем ряд:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

.

Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой

точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и

слева, т. е. нулю.

Пример 2. Периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π определена

следующим образом:

ƒ(x) = -1 при –π < x < 0,

ƒ(x) = 1 при 0 ≤ x ≤ π.

Эта функция кусочно монотонна и ограничена на отрезке [-π,

π]. Вычислим ее коэффициенты Фурье:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения ,

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

(Нарисовать: рис. 377, стр. 334, Пискунов)

Следовательно, для рассматриваемой функции ряд Фурье имеет вид:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

.

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва.

4. Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье.

Отметим следующее свойство периодической функции ψ(x) с периодом 2π:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения , каково бы ни было число λ.

Действительно, так как ψ(ξ - 2π) = ψ (ξ) , то,

полагая x = ξ - π, можем написать при любых c и d:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

.

В частности, принимая с = - π, d = λ, получим:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

поэтому

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Указанное свойство означает, что интеграл от периодической функции

ψ(x) по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и

тоже значение.

Из доказанного свойства вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье мы

можем заменить промежуток интегрирования (-π, π) промежутком

интегрирования (λ, λ +2π), т. е. можем положить

Диплом: Ряды Фурье и их приложения Диплом: Ряды Фурье и их приложения (20)

где λ – любое число.

Это следует из того, что функция ƒ(x) является, по условию,

периодической с периодом 2π; следовательно и функция ƒ(x)·

cоsnx, и ƒ(x)·sinnx являются

периодическими функциями с периодом 2π. В некоторых случаях доказанное

свойство упрощает процесс нахождения коэффициентов.

Пример.

Пусть требуется разложить в ряд Фурье функцию ƒ(x) с периодом 2π,

которая на отрезке 0 < x ≤ 2π задана равенством ƒ(x)= х.

(Пискунов, рис. 382, стр. 339)

Эта функция на отрезке [-π, π] задается двумя формулами:

ƒ(x) = х + 2π на отрезке [-π, 0]

ƒ(x) = х на отрезке [0, π].

В то же время на отрезке [0, 2π] гораздо проще она задается одной

формулой ƒ(x) = х. Поэтому для разложения этой функции в ряд Фурье

выгоднее воспользоваться формулами (20), приравняв λ=0.

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Следовательно,

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

5. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.

Из определения четной и нечетной функции следует, что если ψ(x) –

четная функция, то

Диплом: Ряды Фурье и их приложения .

Действительно,

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

так как по определению четной функции ψ(- x) = ψ(x).

Аналогично можно доказать, что если ψ(x) – нечетная функция, то

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция ƒ(x), то произведение

ƒ(x) ·coskx есть функция также нечетная, а ƒ(x)

· sinkx – четная; следовательно,

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (21)

т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».

Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение ƒ(x) ·

sinkx есть функция нечетная, а ƒ(x) · coskx

– четная, то:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (22)

т. е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».

Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании

коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или

нечетной. Очевидно, что не всякая периодическая функция является четной или

нечетной.

6. Ряд Фурье для функции с периодом 2l.

Пусть функция ƒ(x) есть периодическая функция с периодом 2

l, вообще говоря, отличным от 2π. Разложим её в

ряд Фурье.

Сделаем замену переменной по формуле

Диплом: Ряды Фурье и их приложения х = lt / π.

Тогда функция ƒ(lt / π) будет

периодичной функцией от t с периодом 2π. Её

можно разложить в ряд Фурье на отрезке –π ≤ x ≤ π:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

где (Пискунов, стр. 341 – дописывать не надо)

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Возвратимся к старой переменной x:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения Диплом: Ряды Фурье и их приложения Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Тогда будем иметь:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (24)

Формула (23) получит вид

Диплом: Ряды Фурье и их приложения , (25)

где коэффициенты a0, ak, bk вычисляются по формулам (24). Это и

есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2

l.

Заметим, что все теоремы, которые имели место для рядов Фурье от

периодических функций с периодом 2π, сохраняются и для рядов Фурье от

периодических функций с каким-либо другим периодом 2 l

.

Пример.

Разложить в ряд Фурье функцию ƒ(x) с периодом 2

l, которая на отрезке [-l

, l] задается равенством ƒ(x) = | x |.

(Пискунов, стр.342, рис. 383)

Решение. Так как рассматриваемая функция – четная, то

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Следовательно, разложение имеет вид

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

7. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Пусть на некотором отрезке [a, b

] задана кусочно монотонная функция ƒ(x). Покажем, что данную функцию

ƒ(x) в точках её непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье.

Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию

ƒ1(x) с периодом 2μ ≥ a - b, совпадающую с функцией ƒ(x)

на отрезке [a, b]. Таким образом,

дополнили определение функции ƒ(x).

Разложим функцию ƒ1(x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках

отрезка [a, b] (кроме точек

разрыва) совпадает с заданной функцией ƒ(x), т. е. мы разложили функцию

ƒ(x) в ряд Фурье на отрезке [a, b

].

Рассмотрим следующий важный случай. Пусть функция ƒ(x) задана на

отрезке [0, l]. Дополняя определение этой функции

произвольным образом на отрезке [ l, 0 ] , мы

можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы дополним

определение данной функции так, чтобы при - l

≤ х < 0 было ƒ(x) = ƒ(-x). В результате получится четная

функция. В этом случае говорят, что функция ƒ(x) «продолжена четным

образом». Эту функцию разлагают в ряд Фурье, которая содержит только косинусы.

Таким образом, заданную на отрезке [0, l] функцию

ƒ(x) мы разложили по косинусам.

Если мы продолжим определение функции ƒ(x) при - l

≤ х <0 так: ƒ(x) = -ƒ(-x), то получим нечетную функцию,

которая разлагается по синусам. Таким образом, если на отрезке [0,

l] задана некоторая кусочно монотонная функция ƒ(x), то её

можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, таки по синусам.

Комплексная форма ряда Фурье для функций с периодом 2π.

Пусть ƒ(x) – функция, удовлетворяющая условиям определения:

Пусть функция ƒ(x) с периодом 2π, имеющая на сегменте [-π,

π] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом

сегменте (т. е. она интегрируема на любом сегменте).

Тогда пусть ряд (2) является рядом Фурье функции ƒ(x). Преобразуем

общий член этого ряда с помощью формул Эйлера, выражающих косинус и синус через

показательную функцию. Имеем:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Диплом: Ряды Фурье и их приложения ,

где Диплом: Ряды Фурье и их приложения .

Полагая ещё Диплом: Ряды Фурье и их приложения получим для частичных сумм ряда Фурье выражение

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Для новых коэффициентов cn получаем формулу (учитывая формулы an и bn).

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Непосредственно видно, что эта формула верна для n =

0 и для n < 0 (последнее видно,

например, из того, что Диплом: Ряды Фурье и их приложения где Диплом: Ряды Фурье и их приложения

обозначает число, сопряженное с).

По доказанному имеем в точках дифферуемциемоcти:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Итак, в точках дифференцируемости

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (26)

где

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Правая часть формулы (26) представляет собой комплексную форму ряда

Фурье для функции с периодом 2π.

Комплексная форма ряда Фурье для функции с любым периодом. (Романовский стр.33)

Пусть ƒ(x) – функция с периодом 2l,

удовлетворяющая условиям , указанным в пункте 6. Тогда подстановка

x= lt/ π приводит нас к функции ƒ(l

t/ π) с периодом 2π. В силу предыдущего пункта в точках

дифференцируемости имеем:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Переходя как в ряде, так и формулах для коэффициентов к старому переменному

х и замечая, что t = π x / l

, dt=(π / l)dx, получим

в точках дифференцируемости:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (27)

где

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Правая часть формулы (27), где коэффициенты определяются равенствами (28),

называется комплексной формой ряда Фурье для функции с периодом 2

l.

Основные типы уравнений математической физики.

Основными уравнениями математической физики называют (для случая функций

двух независимых переменных) следующие дифференциальные уравнения с частными

производными второго порядка.

1. Волновое уравнение:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных

колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в

проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Это уравнение

является простейшим уравнением гиперболического типа.

2.

Уравнение теплопроводности или уравнение Фурье:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов

распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде (например,

фильтрации нефти и газа с подземных песчаниках), некоторые вопросы теории

вероятностей и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением

параболического типа.

3. Уравнение Лапласа:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических

и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики,

диффузии и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением

эллиптического типа.

В уравнениях (29), (30) и (31)

искомая функция u зависит от двух переменных.

Рассматриваются также соответствующие уравнения и для функций с большим числом

переменных. Так, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет

вид:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

уравнение теплопроводности с тремя независимыми переменными имеет вид:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

уравнение Лапласа с тремя неизвестными переменными имеет вид:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод

уравнений электрических колебаний в проводах.

В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить.

Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по

касательной к её профилю. Пусть струна длины l в

начальный момент напрвлена по отрезку оси Ох от 0 до

l. Предположим, что концы струны закреплены в точках х

= 0 и х = l. Если струну отклонить от

её первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя

струны, предать в начальный момент её точкам некоторую скорость, или отклонить

струну и придать её точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать

движения – говорят, что струны начнет колебаться. Задача заключается в

определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения.

В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит

перпендикулярно оси Ох и в одной плоскости. При этом предположении процесс

колебания струны описывается одной функцией u (x, t), которая дает

величину перемещения точки струны с абсциссой х в момент времени t.

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

(Н.С. Пискунов стр. 245, рис. 371)

Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости (x,

u ), то будем предполагать, что длина элемента струны М1М2

равняется её проекции на ось Ох, т. е. М1М2 = х2 – х1. Также будем

предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его

через Т.

Рассмотрим элемент струны ММ′. На концах этого элемента, по

касательным к струне, действуют силы Т.

(Н.С. Пискунов стр. 246, рис. 372)

Пусть касательные образуют с осью Ох углы φ и φ + ∆φ.

Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент

ММ′, будет равна T· sin (

φ + ∆φ) – sin φ . Так как угол φ

мал, то можно положить tg φ ≈ sin

φ, мы будем иметь:

T sin (φ + ∆φ) – T sin

φ ≈ T tg (φ + ∆φ) –

T tg φ =

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящего в квадратных

скобках).

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к

элементу, приравнять силе инерции. Пусть ρ – линейная плотность струны.

Тогда масса элемента струны будет ρ ∆х. Ускорение элемента равно

∂2u / ∂t2.

Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Сокращая на ∆х и обозначая a2 = T/ ρ, получаем уравнение движения

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для

полного определения движения струны одного уравнения (35)

недостаточно. Искомая функция u(x, t) должна удовлетворять ещё

граничным условиям, указывающих, что делается на концах струны (х

= 0 и х = ℓ), и начальным условиям, описывающим состояние струны

в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и начальных

условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при х = 0 и х =

ℓ неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться

равенства:

u (0, t) = 0, (36)

u (ℓ, t) = 0. (36,)

Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.

В начальный момент t = 0 струна имеет определенную

форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией ƒ(x).

Таким образом, должно быть

u (x, 0) = u |t = 0 = ƒ(x). (37)

Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны,

которая определяется функцией φ(х):

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Условия (101,) и (101, ,) являются начальными условиями.

Замечание. В частности, может быть, ƒ(x) ≡ 0

или φ(x) ≡ 0. Если же ƒ(x) ≡ 0 и φ(x) ≡ 0,

то струна будет находиться в покое, следовательно, u (x, t)

≡ 0.

Как указывалось выше, к уравнению (30) приводит и задача об электрических

колебаниях в проводах. Покажем это. Электрический ток в проводе характеризуется

величиной ί(x, t) и напряжением υ(x, t),

которые зависят от координаты х точки провода и от времени t.

Рассматривая элемент провода ∆х, можем написать, что падение напряжения на

элементе ∆х равно

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Это падение напряжения складывается из омического, равного ί

R∆x, и индуктивного , равного (∂

ί /∂ t )L∆

x. Итак,

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

где R и L - сопротивление и

коэффициент самоиндукции, рассчитанный на единицу длины провода. Знак минус

взят потому, что ток течет в направлении, обратном возрастанию

υ. Сокращая на ∆х, получаем уравнение

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Далее, разность токов, выходящих из элемента ∆х и выходящего из него

время ∆t, будет

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Она расходуется на зарядку элемента, равную C∆

x (∂υ /∂

t) ∆t, и на утечку через боковую

поверхность провода вследствие несовершенства изоляции, равную А

υ∆х∆t (здесь А – коэффициент

утечки). Приравнивая эти выражения и сокращая на ∆x

∆t, получим уравнение:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Уравнения (103) и (104) принято называть телеграфными уравнениями.

Из системы уравнений (103) и (104) можно получить уравнение, содержащую

только искомую функцию ί(x, t), и уравнение, содержащее только

искомую функцию υ (x, t). Продифференцируем члены уравнения

(104) по х; члены уравнения (103) продифференцируем по t

и умножим их на С. Произведя вычитание, получим:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Подставляя в последнее уравнение выражение (∂υ

/∂х) из уравнения (103), получим:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Аналогичным образом получается уравнение для определения υ(x, t):

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А = 0) и сопротивлением (

R = 0), то уравнения (105) и (106) переходят в волновые уравнения:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

где обозначено: a2 = 1/CL. Исходя из физических

условий, формулируются граничные и начальные условия задачи.

Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных

(методом Фурье).

Метод разделения переменных (или метод Фурье) является типичным для решения

многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение уравнения

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

удовлетворяющее краевым условиям:

u (0, t) = 0, (108)

u (ℓ, t) = 0, (109)

u (x, 0) = ƒ(x), (110)

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Будем искать (не равное тождественно нулю) частное решения уравнения (107),

удовлетворяющее граничным условиям (108) и (109), в виде произведения двух

функций X(x) и T(t), из которых

первая зависит только от х, вторая только от t:

u (x, t) = X (x) T (t). (112)

Подставляя в уравнение (107), получаем:

X (x) T′′(t) = a2 X′′(x) T(t).

Разделив члены равенства на a2 XTДиплом: Ряды Фурье и их приложения

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

В левой части этого равенства стоит функция, которая не зависит от х, слева

– функция, не зависящая от t. Равенство (113) возможно

только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от х, ни от

t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим его через – λ, где

λ > 0 ( позднее будет рассмотрен случай λ

< 0). Итак,

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Из этих равенств получаем два уравнения:

X′′ + λX = 0, (114)

T′′ + a2 λT = 0. (115)

Общие решения этих уравнений будут:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

где A, B, C, D – произвольные постоянные.

Подставляя выражения X(x) и T(t) в равенство (112), получим:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Подберем теперь постоянные А и В так, чтобы удовлетворялись условия (108) и

(109). Так как T (t) тождественно неравна нулю (в

противном случае u (x, t) ≡ 0, что противоречит

поставленному условию),то функция X (x) должна

удовлетворять условиям (108)

и (109), т. е. должно быть Х (0) =0, Х (ℓ) = 0. Подставляя значения

х=0 и х = ℓ в равенство (116), на основании (108) и (109) получаем:

0 = А · 1 + В · 0,

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Из первого уравнения находим А = 0. Из второго следует:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

В ≠ 0, так как в противном случае было бы Х ≡ 0 и u

≡ 0, что противоречит условию. Следовательно, должно быть

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

откуда

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

(мы не берем значение n = 0, так как в этом случае

было бы Х ≡ 0 и u ≡ 0). Итак, мы получили:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Найденные значения λ называются собственными значениями для

данной краевой задачи. Соответствующие им функции Х (х) называются

собственными функциями.

Замечание. Если бы мы знали вместо – λ выражение +

λ = k2, то уравнение (114) приняло бы вид

Х′′- k2Х = 0.

Общее решение этого уравнения:

Х = Аekx + Be -kx .

Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным

условиям (108) и (109).

Зная λ1/2, мы пользуясь равенством (117) , можем написать:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Для каждого значения n, следовательно, для каждого

λ, выражения (119) и (120) подставляем в равенство (112)и получаем

решение уравнения (107), удовлетворяющее граничным условиям (108) и (109). Это

решение обозначим un (x, t):

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Для каждого значения n мы можем брать свои постоянные

C и D и потому пишем Cn и

Dn (постоянная В включена в Cn и Dn

). Так как уравнение (107) линейное и однородное, то сумма решений также

является решением, и потому функция, представленная рядом

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

или

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

также будет решением дифференциального уравнения (107), которое будет

удовлетворять граничным условиям (108) и (109). Очевидно, ряд (122) будет

решением уравнения (107) только в том случае, если коэффициенты Cn

и Dn таковы, что этот ряд сходится в ряды получающиеся

после двукратного почленного дифференцирования по х и по t

.

Решение (122) должно еще удовлетворять начальным условиям (110) и (111).

Этого мы будем добиваться путем подбора постоянных Cn и

Dn. Подставляя в равенство (122) t

= 0, получим :

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Если функция ƒ(x) такова, что в интервале (0, ℓ) ее можно

разложить в ряд Фурье, то условие (123) будет выполняться, если положить

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Далее, дифференцируем члены равенства (122) по t и

подставляем t = 0. Из условия (111) получается равенство

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Определяем коэффициенты Фурье этого ряда:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

или

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Итак, мы доказали, что ряд (122), где коэффициенты Cn

и Dn определены по формулам (124) и (125), если он

допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию

u (x, t), которая является решением уравнения (107) и удовлетворяет

граничным и начальным условиям (108) – (111).

Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового

уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (122) представляет собой

решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При

этом функция ƒ(x) должна быть дважды дифференцируемой, а функция φ(x)

– один раз дифференцируемой.

Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи.

Рассмотрим однородный стержень длины ℓ. Будем предполагать, что

боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного

сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла в

стержне.

Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х =

, а другой – с точкой х = ℓ.

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Пискунов стр 252, рис. 373

Пусть u (x, t) – температура в сечении стержня с

абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, что

скорость распространения тепла, т. е. количество тепла, протекающего через

сечение с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

где S – площадь сечения рассматриваемого стержня,

k – коэффициент теплопроводности.

Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х1 и

х2 (х2 – х1 = ∆х). Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой

х1 за время ∆t, будет равно

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

то же самое с абсциссой х2:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Приток ∆Q1 - ∆Q2

в элемент стержня за время ∆t будет равняться:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Этот приток тепла за время ∆t затратился на

повышение температуры элемента стержня на величину ∆u

:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

или

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

где с – теплоемкость вещества стержня, ρ – плотность вещества стержня

(ρ∆xS – масса элемента стержня).

Приравнивая выражения (129) и (130) одного и того же количества тепла

∆Q1 - ∆Q2, получим:Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности) в

однородном стержне.

Чтобы решение уравнения (131) было вполне определено, функция u

(x, t) должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим

физическим условиям задачи. Краевые условия для решения уравнения (131) могут

быть различные. Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой

задаче для 0 ≤ t ≤ T,

следующие:

u (x, 0) = φ(x), (132)

u (0, t) = ψ1(t), (133)

u (ℓ, t) = ψ2(t).

(134)

Физическое условие (132) (начальное условие) соответствует тому, что при

t = 0 в разных сечениях стержня задана температура, равная φ(x).

Условия (133) и (134) (граничные условия) соответствуют тому, что на концах

стержня при х = 0 и при х = ℓ поддерживается температура, равная

ψ1(t) и ψ2(t) соответственно.

Доказывается, что уравнение (131) имеет единственное решение в области

0 ≤ х ≤ ℓ, 0 ≤

t ≤ T , удовлетворяющее условиям (132) –

(134).

Распространение тепла в пространстве.

Рассмотрим процесс распространения тепла в трехмерном пространстве. Пусть

u(x, y, z, t) – температура в точке с координатами (x, y, z) с момент времени

t. Опытным путем установлено, что скорость прохождения тепла через площадку

∆s, т. е. количество тепла, протекающего за единицу времени, определяется

формулой (аналогично формуле (126))

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

где k – коэффициент теплопроводности рассматриваемой

среды, которую мы считаем однородной и изотропной, n –

единичный вектор, направленный по нормали к площадке ∆s в направлении

движения тепла. Таким образом, можем записать:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

где cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы вектора n, или

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Подставляя выражение Диплом: Ряды Фурье и их приложения в формулу (135), получаем:

∆Q = -k n grad u ∆s.

Количество тепла, протекающего за время ∆t

через площадку ∆s, будет равно:

∆Q∆t = -k n grad u ∆t ∆s.

Вернемся к поставленной задаче. В рассматриваемой среде выделим малый объем

V, ограниченный поверхностью S. Количество

тепла, протекающего через поверхность S, будет равно:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

где n – единичный вектор, направленный по внешней

нормали к поверхности S. Очевидно, что формула (136) дает

количество тепла, поступающего в объем V (или уходящего

из объема V) за время ∆t.

Количество тепла, поступившего в объем V, идет на

повышение температуры вещества этого объема.

Рассмотрим элементарный объем ∆υ. Пусть за время ∆

t его температура поднялась на ∆u.

Очевидно, что количество тепла, затраченное на это повышение температуры

элемента ∆υ, будет равно

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

где с – теплоемкость вещества, ρ – плотность. Общее количество тепла,

затраченное на повышение температуры в объеме V за время

∆t, будет

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Но это есть тепло, поступающее в объем V за время

∆t; оно определено формулой (136) . Таким образом,

имеет место равенство

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Сокращая на ∆t, получаем:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Поверхностный интеграл, стоящий в левой части этого равенства, преобразуем

по формуле Остроградского (в векторной форме, где F –

дивергенция векторного поля, σ – замкнутая поверхность)

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

полагая F = k grad u:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Заменяя двойной интеграл, стоящий в левой части равенства (137), тройным

интегралом, получим:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Применив теорему о среднем к тройному интегралу, стоящего слева, получим :

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

где P(x, y, z) – некоторая точка объема V.

Так как мы можем выделить произвольный объем V в

трехмерном пространстве, где происходит распространение тепла, и так как мы

предполагаем, что подынтегральная функция в равенстве (138) непрерывна, то

равенство (139) будет выполняться в каждой точке пространства. Итак,

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Но

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Подставляя в уравнение (140), получаем:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Если k – постоянное, то

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

и уравнение (140) в этом случае дает:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

или, положив Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Коротко уравнение (142) записывается так:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

где Диплом: Ряды Фурье и их приложения ∆u

– оператор Лапласа. Уравнение (142) и есть уравнение теплопроводности в

пространстве. Для того чтобы найти единственное решение, отвечающее

поставленной задаче, нужно задать краевые условия.

Пусть имеем тело Ω, поверхность которого σ. В этом теле

рассматривается процесс распространения тепла. В начальный момент температура

тела задана. Это соответствует тому, что известно значение решения при

t = 0 – начальное условие:

u(x, y, z, 0) = φ (x, y, z). (143)

Кроме того, должна быть известна температура в любой точке М поверхности

σ тела в любой момент времени t – граничное

условие:

u (М, t) = ψ (М, t). (144)

(Возможны и другие граничные условия.)

Если искомая функция u (x, y, z, t) не зависит от z,

что соответствует тому, что температура не зависит от z,

то получаем уравнение:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

- уравнение

распространения тепла на плоскости. Если рассматривается

распространения тепла в плоской области D с границей С,

то граничные условия, аналогично (143) и (144), формулируются так:

u (x, y, 0) = φ (x, y),

u(М, t) = ψ (М, t),

где φ и ψ – заданные функции, М – точка границы С.

Если же функция u не зависит ни от z, ни от y, то получаем уравнение

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

- уравнение распространения тепла в стержне.

2π, ƒ(x), φ, φ(x) ,[-π, π], (λ, λ

+2π), ψ(x), ·, ℓ, l, < x

≤, | x |,α, β,[a, b], σ,

u (x, t), М1М2 ,φ +, ∆φ

,≈, ρ, ∆, ∂, ≡, ι, ί,

υ, ′, ≠, κ, k, s, u(x, y,

z, t), Ωσ

Заключение

В этой дипломной работе приведены лишь немногие примеры того как ряды Фурье

позволяют решить важные задачи математической физики. Например, некоторыми из

них являются задачи на распространения тепла в стержне или колебания струны.

Приведены примеры нахождения периодических решений линейных дифференциальных

уравнений с помощью рядов Фурье. На небольшом количестве страниц изложен

материал, содержащий основные факты теории рядов Фурье.

Работа начинается с представления функции в виде тригонометрического ряда,

который и является при подставлении в него соответствующих коэффициентов

(коэффициентов Фурье) рядом Фурье. Далее рассматриваются некоторые признаки

сходимости рядов Фурье, вывод коэффициентов Фурье и их оценка. Представлена

комплексная форма рядов Фурье. Рассмотрены примеры применений преобразований

Фурье и метода Фурье (метода разделения переменных).

Так как теория тригонометрических рядов (рядов Фурье) в настоящее время

достаточно велика по своему содержанию и объему, то естественно, что здесь не

мог быть исчерпан весь материал.

В заключение хотелось бы отметить, что о Фурье мы прежде всего вспоминаем

как об авторе “Аналитической теории теплоты” (1822 г.). В силу общности метода

эта книга стала источником всех современных методов математической физики,

относящихся к интегрированию уравнений в частных производных при заданных

граничных условиях.

Литература:

1. Н.С. Пискунов

„Дифференциальное и интегральное исчисления”, Москва, „Наука”, 1972 г.

2. И.М. Уваренков, М.З. Маллер

„Курс математического анализа”, Москва, „Просвещение”, 1976 г.

3. В.С. Шипачев „Высшая математика”, Москва, „Высшая школа”, 1990г.

4. Г.Е. Шилов „Математический

анализ функции одного переменного”, Москва, „Наука”, 1970 г.

5. Я.С. Бугров, С.М. Никольский

„Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды.

Функции комплексного переменного”, Москва, „Наука”, 1989 г.

6. В.А. Подольский, А.М.

Суходский „Сборник задач по математике для техников-программистов”, Москва,

„Высшая школа”, 1978 г.

7. Г.М. Фихтенгольц „Курс

дифференциального и интегрального исчисления”, том III,

Москва, „Наука”, 1969г.

8. В.Е. Шнейдер, А.И. Слуцкий,

А.С. Шумов „Краткий курс высшей математики”, том2, Москва, „Высшая школа”,

1978г.

рефераты Рекомендуем рефератырефераты

     
Рефераты @2011