Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова
Математический факультет
Кафедра геометрии и высшей алгебры
Лакунова Залина
Дипломная работа
«О некоторых применениях алгебры матриц»
Научный руководитель:
д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А
/В.Н.Шокуев /
Рецензент:
к.ф.-м.н.,доцент
/В.М.Казиев/
Допущена к защите
2002г.
Заведующий кафедрой
к.ф.-м.н.,доцент
/А.Х.Журтов/
Нальчик 2002
Оглавление
стр.
Введение 3
§1. О правиле Крамера 4
§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9
§3. Матричный вывод формулы Кардано 17
Литература 21
Отзыв
О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».
Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.
В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в теории
систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических уравнений
малых степеней.
В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых
квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.
В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства
некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом основную
роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана
теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех положительных
чисел.
В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических уравнений;
его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он опирается на свойства
циркулянта (третьего порядка).
Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой З.
удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут быть
допущены к защите.
Предварительная оценка – «хорошо»
д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА /В.Н.Шокуев/
§1. О правиле Крамера
В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных
алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит в
следующем.
Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система 
линейных уравнений с неизвестными 
 (1)
Определитель которой отличен от нуля:
 (2)
Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения
 (3)
где  - матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),
 (4)
 - столбец (Матрица-столбец) неизвестных
 - столбец свободных членов системы (1)
Так как  , то
матрица 
невырожденная и для нее существует обратная матрица 
. Умножив равенство (3) на 
(слева), получим (единственное) решение системы в следующей матричной форме (в
предположении, что она совместима и 
- ее решение)
 ,
где обратная матрица  имеет вид:
( -алгебраическое дополнение элемента  в определителе  )
Другой известный способ можно назвать методом алгебраических дополнений.
Его использование предполагает владение понятием алгебраического дополнения 
как и в матричном способе, теоремой о разложении определителя по столбцу
(строке), теоремами о замещении и об аннулировании.
Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об определителе
произведения матриц.
Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай 
. Очевидно, что при 
выполняются следующие матричные равенства (если задана система (1)):
Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых
частей соответственно через 
получим формулы Крамера:
   ( )
  (Правило Крамера)
Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка 
ничего по существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица 
с определителем 
получается из единичной матрицы заменой 
-го столбца столбцом неизвестных:
 (5)
Теперь из  равенств
  ,
где  - матрица,
получающаяся заменой 
- го столбца матрицы 
столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв
определители от обеих частей в каждом равенстве:
 , откуда ввиду  имеем
  .
(здесь  получается из  , как и  из  ).
Другой, еще более короткий способ отыскания решения системы (1) состоит в
следующем (по-прежнему 
): пусть система (1) совместна и числа 
(после переобозначений) образуют ее решение. Тогда при 
имеем, используя два линейных свойства определителя:
 
Можно начать и с определителя 
, в котором вместо свободных членов в 
-м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя соответствующие
свойства определителя, получим:
 ( ),
откуда и получаются формулы Крамера.
Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по формуле
Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение системы),
производится одним из известных способов.
§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел.
Матрица вида:
- называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее
определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем некоторые
авторы называют также циркулянтом.
Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)
 .
Прибавив первые две строки к третьей, получим:
 .
Вынесем общий множитель  из последней строки:
 .
Так как
,
то
.
С другой стороны, по определению детерминанта имеем:
Следовательно, выполняется тождество
(1)
Имеет место следующее предложение.
Предложение 1. Уравнение
 (2)
не имеет решений в натуральных числах 
Доказательство: Если 
- вещественные положительные числа, не все равные между собой, то
 (3)
Пусть  - не все
равные между собой положительные числа. Тогда существуют положительные числа 
и  , не все равные
между собой, такие, что 
. К этим числам применим тождество (1). Так как не все числа 
между собой равны, то последний сомножитель правой части тождества (1) есть
число положительное и, следовательно,
 ,
 . (4)
Так как  , то
неравенство (4) дает неравенство (3). (Неравенство (3) можно переписать в виде 
; получим известный факт о том, что среднее арифметическое трех положительных,
не равных между собой чисел больше их среднего геометрического).
Пусть  и 
- натуральные числа, удовлетворяющие уравнению (2). Представляются две
возможности: либо числа 
все равны между собой, либо не все эти числа равны друг другу.
В первом случае все они должны быть равны 1, так как она положительные и 
, и мы имели бы:
 - противоречие.
Значит, не все три числа 
равны между собой; поэтому в силу неравенства (3) имеем
 ,
откуда
 .
Таким образом, доказано что уравнение
не имеет решений в натуральных числах  .
Предложение 2. Уравнение
разрешимо в натуральных числах  .
Доказательство: удовлетворяют нашему уравнению. Если не все три числа 
между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства Предложения (1),
выполняется неравенство
- противоречие. Таким образом, должно быть 
, и из нашего уравнения следует, что каждое из этих чисел равно 1, так что 
.
Поэтому получаем
 .
Итак, мы доказали, что заданное уравнение имеет бесконечно много решений в
натуральных числах 
.
Предложение 3. Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой
двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.
Доказательство: Рассмотрим следующее произведение двух циклических матриц
(второго порядка)
где  - мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство
 . (5)
Предложение 4. Если число представляемое в виде суммы двух квадратов,
делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное также
является суммой двух квадратов.
Доказательство: Пусть число  делится на простое число  вида  :
 .
Требуется доказать, что частное  имеет вид  .
Предположим, что задача уже решена, т.е.
 , (6)
и с помощью анализа попробуем найти искомые числа 
и  . Гипотетическое
равенство (6) подсказывает целесообразность рассмотрения матричных равенств.
и
перемножив правые части этих равенств, получим:
отсюда имеем:
(7)
 (8)
. (9)
Так как  - простое
число и  делит 
, то равенство (9) показывает, что 
или  делится на 
.
Пусть  . Тогда из тождества
,
верного в силу (5) следует, что на 
делится и число  , а
поскольку  -
простое,  , так что
в силу (7)  - целое
число. Таким образом, в рассматриваемом случае имеем:
и Предложение 4 доказано.
Если же  , т.е. в силу (8)  - целое, то, рассуждая как и выше, можем написать:
;
отсюда следует, что  , т.е.  - целое. В этом случае
 .
§3. Матричный вывод формулы Кардано
В этом параграфе предлагается новый подход к выводу формулы Кардано для
корней кубического произведения уравнения.
Пусть дано любое кубическое уравнение
  . (1)
Если  - его корень, то  , поэтому
 , т.е. 
есть корень уравнения, получающегося из (1) делением всех коэффициентов т правой
части на  , и
обратно. Поэтому (1) эквивалентно уравнению.
 . (2)
Таким образом, можно сказать, что решение любого кубического уравнения
сводится к решению кубического уравнения со старшим коэффициентом, равным 1,
т.е. уравнения вида
 , (3)
которое получается из (2) после переобозначения коэффициентов; такое
уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить подстановку
 , (4)
получим:
, т.е.
 ,
(5)
где  и 
определяются по заданным коэффициентам 
уравнения (3). Уравнение (5) эквивалентно уравнению (3), поэтому достаточно
научиться решать уравнения типа (5). В силу этого, обозначив через 
неизвестное, мы видим, что решение любого кубического уравнения вида
 , (6)
называется приведенным или (неполным) кубическим уравнением. Покажем теперь,
как можно найти все корни уравнения (6). Для этого заметим, что в силу
тождества (1) §2, полученного с использованием циркулянта третьего порядка
имеет место тождество
, (7)
где  - любые числа, 
- один из корней третьей степени из единицы, так что 
(проверка тождества опирается на равенство 
). Попробуем теперь отождествить наше уравнение (6) с уравнением
 , (8)
т.е. положим
где  и  пока неизвестны. Чтобы вычислить их, имеем систему
которая показывает (в силу теоремы Виета), что 
и  являются корнями
квадратного уравнения
т.е.
 
и поэтому
  (9)
Таким образом, уравнение (6) эквивалентно уравнению (8), в котором 
и  определяются по
формулам (9). В свою очередь, уравнение (8) в силу (7) равносильно уравнению
и теперь получаем:
   (10)
где  и 
определяются по (9). При этом надо иметь ввиду, что кубические корни из (9)
имеют по три значения и их необходимо комбинировать с учетом равенства 
; если одна пара значений 
и  выбрана указанным
образом, то все три корня определяются по формулам (10). Сказанное можно
представить и по другому; можно сказать, что значения неизвестного 
определяются из равенства
т.е.
 (11)
причем остается в силе сказанное относительно комбинаций значений этих
кубических радикалов.
Формула (11) и есть знаменитая формула Кардано.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ф. Бахман, Э. Шмидт. n- угольник «Мир», М., 1973 г.
2. Э. Чезаро. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления
бесконечно малых ч. 1 М.Л., 1936 г.
3. В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. М., 1968 г.
4. Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика ? «Просвещение», М., 1967 г.
5. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1976 г.
6. Эдвардс. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию
чисел. «Мир», М., 1980 г.
|
