Главная » Каталог    
рефераты Разделы рефераты
рефераты
рефератыГлавная

рефератыБиология

рефератыБухгалтерский учет и аудит

рефератыВоенная кафедра

рефератыГеография

рефератыГеология

рефератыГрафология

рефератыДеньги и кредит

рефератыЕстествознание

рефератыЗоология

рефератыИнвестиции

рефератыИностранные языки

рефератыИскусство

рефератыИстория

рефератыКартография

рефератыКомпьютерные сети

рефератыКомпьютеры ЭВМ

рефератыКосметология

рефератыКультурология

рефератыЛитература

рефератыМаркетинг

рефератыМатематика

рефератыМашиностроение

рефератыМедицина

рефератыМенеджмент

рефератыМузыка

рефератыНаука и техника

рефератыПедагогика

рефератыПраво

рефератыПромышленность производство

рефератыРадиоэлектроника

рефератыРеклама

рефератыРефераты по геологии

рефератыМедицинские наукам

рефератыУправление

рефератыФизика

рефератыФилософия

рефератыФинансы

рефератыФотография

рефератыХимия

рефератыЭкономика

рефераты
рефераты Информация рефераты
рефераты
рефераты

Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью

Содержание.

Глава I

Введение. 2 §1. Актуальность темы. 2 §2. Обзор работ. 6 Глава II Определения решения дифференциального уравнения с разрывной правой частью. 8 §1. Обоснование необходимости обобщения понятия решения. 8 §2. Определения решения. 10 Глава III Исследование устойчивости для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. 23 §1. Определение устойчивости. Метод функций Ляпунова. 23 §2. Некоторые сведения теории дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. 27 §3. Связь рассматриваемых теорий. 31 Заключение. 34 Литература. 35

Глава I

Введение. §1. Актуальность темы. Актуальность данной темы в значительной степени обусловлена многочисленными приложениями теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Ряд процессов в механике, электротехнике и в других областях характеризуются тем, что правые части дифференциальных уравнений, которые описывают их динамику, претерпевают разрывы в зависимости от текущего состояния процесса. Стандартный пример такой динамической системы – механическая система с сухим трением, когда сила сопротивления может принимать одно из двух двух противоположных по знаку значений в зависимости от направления движения. Рассмотрим эту систему подробнее. Механическая система с сухим трением. Как показано в [3] можно установить зависимость между работой, затраченной на преодоление сил трения и скоростью движения. Эта зависимость получается совершенно различной для случая движения груза массы m в жидкости и трения о какую-либо твердую поверхность. В первом случае (случай “жидкого трения”) работа существенно зависит от скорости и при уменьшении скорости уменьшается и может быть сделана как угодно малой. Во втором случае (случай “сухого трения”), наоборот, работа мало зависит от скорости, и как бы медленно ни двигали груз, необходимо затратить на его перемещение некоторую конечную и вполне определенную работу, т.е. сила трения даже при сколь угодно малой скорости имеет конечную величину. Кроме этого, учитывая, что сила трения всегда направлена в сторону, противоположную скорости, и, значит при переходе через нуль сила трения меняет знак на обратный, в случае “жидкого трения” получаем, что сила трения без скачка проходит через нуль и меняет при этом знак:
Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
В случае же “сухого трения” при скорости, стремящейся к нулю, сила трения с двух сторон стремится к разным конечным пределам (в частности противоположным по знаку, но одинаковым по абсолютной величине), т.е. при нуле претерпевает разрыв:
Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
Т.о. математические модели механических систем с кулоновым трением, полученные в рамках механики систем абсолютно твердых тел, представляют собой дифференциальные уравнения, правые части которых являются функциями, разрывными относительно обобщенных скоростей (сила трения изменяется скачкообразно при изменении направления движения). Ситуация, подобная вышеописанной, особенно часто возникает в системах автоматического управления: стремление повысить быстродействие системы, минимизировать энергетические затраты на управление, ограничить область возможных изменений регулируемых параметров и т.п. приводит к управляющим воздействиям в виде разрывных функций. В частности, такими системами автоматического управления являются системы с переменной стуктурой и со скользящими режимами. Системы с переменной структурой и со скользящим режимом. Исследование этих систем в большинстве случаев осуществляется на основе развитого в работе [3] метода фазового пространства. Согласно этому методу, состояние динамической системы Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью –го порядка в любой момент времени полностью определяется значениями Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью координат. Значения этих координат задают некоторую точку в Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью –мерном пространстве, по осям которого отложены координаты системы. Т.о., каждому новому состоянию системы соответствуют все новые и новые точки пространства и изменению состояний системы можно соподчинить движение некоторой точки, которая называется изображающей точкой, а пространство – фазовым пространством. При движении системы ее координаты изменяются. И изображающая точка описывает некоторую кривую (выражающую для данного движения зависимость скорости от координат), которая называется фазовой траекторией. По виду этих траекторий можно судить о свойствах рассматриваемой динамической системы, и, более того, изменять их, деформируя фазовые траектории при соответствующем выборе управляющих воздействий. Движение изображающей точки характеризуется вектором фазовой скорости, который направлен по касательной к траектории в сторону движения. Определение систем с переменной структурой дано в работе [13]. Под системами с переменной структурой авторы понимают системы, в которых связи между функциональными элементами меняются тем или иным образом, в отличие от систем с фиксированной структурой, в которых совокупность функциональных элементов и характер связей между ними остаются неизменными. Одним из режимов работы таких систем является скользящий режим, характеризуемый бесконечной частотой переключения функции управления. Скользящий режим возникает, если в окрестности поверхности, на которой функция управления претерпевает разрывы, фазовые траектории направлены навстречу друг другу Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью После попадания на поверхность разрыва изображающая точка не может в течение любого даже сколь угодно малого, но конечного интервала времени двигаться по любой из траекторий, примыкающих к этой поверхности (при любом смещении всегда возникает движение, возвращающее изображающую точку на поверхность разрыва). В [7] рассматривается еще случай, когда решение наоборот не может попасть на соответствующий участок поверхности разрыва (при возрастании времени):
Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
Скользящие режимы обладают рядом привлекательных свойств с т.з. построения систем автоматического управления (часто скользящие режимы специально вводят в системы). Одна из особенностей, связанная с независимостью их от характеристик управляемого объекта и возможностью наделить их желаемыми свойствами, и обуславливает широкое применение скользящих движений. Т.о., существование теории релейных систем, систем переменной структуры, реализация законов оптимального управления, механики, электротехники приводят к необходимости изучения общей теории диф. уравн. с разрывными правыми частями, для которых в общем случае неприемлемы методы классической теории дифференциальных уравнений. §2. Обзор работ по теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Различным вопросам этой теории посвящены отдельные параграфы и главы в книгах [3,4,7,9], а также большое число журнальных статей. Систематическое изложение этой теории имеется в статьях А.Ф. Филиппова. В [16] Филиппов рассмотрел диф. уравн. с однозначными разрывными правыми частями, ввел понятие решения и доказал основные теоремы качественной теории. Различные направления исследования релейных диф. уравн. Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , т.е. таких уравнений, у которых правая часть не является ненпрерывной по x функций рассмотрены в статье [5]. Теория систем автоматического управления, описываемых дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями рассматривается в книгах [13, 14, 15]. В работе С.В. Емельянова [13] излагается один из разделов теории автоматичесеого управления – теория систем с переменной структурой, принадлежащих к классу нелинейных систем автоматического регулирования, в которых широко используются скользящие режимы. Скользящие режимы релейных систем изучались Ю.И Неймарком [10], Ю.И. Алимовым [2] и др. Но появление систем с переменной структурой породило интерес к теории скользящих режимов не только в релейных системах общего вида [14, 15]. Содержание последних книг составляют проблемы, связанные с исследованием систем с разрывными управляющими воздействиями, в [14] приводится математический аппарат для исследования разрывных динамических систем, которые не рассматриваются в классической теории диф. уравнений. Обзор и основные направления теории диф. уравнений с разрвными правыми частями приводятся в книге [17], которая явилась основной при написании дипломной работы. Во всех вышеперечисленных работах теория разрывных систем основывается на теории дифференциальных включений. Нами было сделано предположение, что эти системы можно свести к системам дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, теория которых изложена в [12]. Для этого потребуется дать определения решения, устойчивости решения разрывной системы в смысле системы с импульсным воздействием, сформулировать теорему об устойчивости нулевого решения. Глава II Определения решения дифференциального уравнения с разрывной правой частью. Здесь из лагаются различные определения решений дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, устанавливается связь таких уравнений с дифференциальными включениями, указываются условия их применимости. §1. Обоснование необходимости обобщения понятия решения дифференциального уравнения.

Определение1. Решением дифференциального уравнения

Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью = Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью

с непрерывной правой частью называется функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , которая всюду на данном интервале имеет производную и удовлетворяет этому уравнению.

Для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями такое определение непригодно, как показывают следующие примеры. Пример 1. Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью При Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью =-1 и решение выражается формулой Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ;

Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , решение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью :

Исходя из требования непрерывности решения при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью : x(0)=Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Поэтому решение выражается формулой Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . При Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью производной Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью не существует. Пример 2. Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью При Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью 3, решение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , решение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью : Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью x При возрастании Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью каждое решение доходит до прямой Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью 0. Поле направлений не позволяет решению сойти с прямой Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью 0 ни вверх, ни вниз. Если же продолжить решение по этой прямой, то получаемая функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью не удовлетворяет уравнению в обычном смысле, т.к. для нееДиплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , а правая часть уравнения при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью равна 1-sign 0=1Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью 0. Кроме этого, уравнение с непрерывной правой частью равносильно интегральному уравнению Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью В случае, когда f(t,x) разрывна по t и непрерывна по x (пример 1), решением уравнения можно назвать функции, удовлетворяющие интегральному уравнению. В этом случае, решения с одной стороны от S подходят к S, а с другой стороны сходят с S (траектории “прошивают” поверхность):
Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
S Решение x(t) попадающее при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью на поверхность разрыва S, продолжается однозначно на значения Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и близкие к Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ; пересекая S решение удовлетворяет уравнению всюду, кроме точки пересечения, в которой решение не имеет производной (в первом примере S – это прямая t=0). В другом случае, когда с обеих сторон поверхности разрыва S решения приближаются к S (траектории “стыкуются” – скользящий режим), это определение решения непригодно, т.к. ничего не говорит о том, как продолжится решение, попавшее на S (пример 2). Необходимо поэтому было дать такое определение решения, которое охватило бы эти два основных случая и формулировалось бы независимо от расположения линий и поверхностей разрыва. §2. Определения решения. Рассмотрим уравнение или систему в векторной записи Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , (1) с кусочно-непрерывной функцией f в области G;Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , M – множество (меры нуль) точек разрыва функции f. Большинство известных определений решения уравнения (1) могут быть изложены следующим образом. Для каждой точки Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью области G указывается множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в n-мерном пространстве. Если в точке (t,x) функция f непрерывна, то множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью состоит из одной точки, совпадающей со значением функции f в этой точке. Если же Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью -точка разрыва функции f, то множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью задается тем или иным способом.

Определение2. Решением уравнения (1) называется решение дифференциального включения

Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , (2)

т.е. абсолютно непрерывная вектор-функция x(t), определенная на интервале или отрезке I, для которого почти всюду на I

Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью .

Другими словами, решение дифференциального уравнения (1) определяется как функция, у которой производная Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью может принимать любые значения из некоторого множества Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Иногда (2) называют диф. уравнением с многозначной правой частью. Функцию Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью называют многозначной функцией, подчеркивая, что значениеДиплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - множество. Если для всех (t, x) множествоДиплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью состоит из единственной точки, то (2) – обычное диф. уравнение. Функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью называется однозначной в точке Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , если множество FДиплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью состоит из единственной точки. Одним из наиболее популярных определений решения разрывной системы является определение А.Ф. Филиппова. А. Выпуклое доопределение. Применимо, в частности, к системам с малым запаздыванием того или иного рода, а также к некоторым системам с сухим трением. Для каждой точки Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью пусть Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения вектор-функцииДиплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , когда Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Решением уравнения (1) называется решение включения (2) с только что построенным Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Т.к. Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - множество меры нуль, то при почти всех Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью мера сечения множества Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью плоскостью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью равна нулю. При таких Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью определено для всех Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . В точках непрерывности функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью состоит из одной точки Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и решение удовлетворяет уравнению (1) в обычном смысле. Если же точка Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью лежит на границах сечений двух или нескольких областей Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , ., Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью плоскостью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью есть отрезок, выпуклый многоугольник или многогранник с вершинами Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью = Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Все точки Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью = 1, . , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью содержатся в Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , но не обязательно, чтобы все они являлись вершинами. Определение 3. Вектор-функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , определенная на интервале Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью называется решением уравнения (1), если она абсолютно непрерывна и если при почти всех Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью для любого Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью вектор Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью принадлежит наименьшему выпуклому замкнутому множеству (Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью -мерного пространства), содержащему все значения вектор-функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , когда Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью пробегает почти всю Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью -окрестность точки Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в пространстве X (при фиксированном Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ), т.е. всю окрестность, кроме множества мера нуль. Такое определение дает однозначное продолжение решения по поверхности разрыва. Рассмотрим случай, когда функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью разрывна на гладкой поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , задаваемой уравнением Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Поверхность S делит свою окрестность в пространстве на области Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Пусть при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и приближении Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью к Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью из областей Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью функция имеет предельные значения Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Тогда множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , о котором говорится в доопределении А, есть отрезок, соединяющий концы векторов Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , проведенных из точки Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . aЕсли этот отрезок при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью лежит по одну сторону от плоскости Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , касательной к поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в точке, то решения при этих Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью переходят с одной стороны поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью на другую: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Рис. 1. aЕсли этот отрезок пересекается с плоскостью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то точка пересечения является концом вектора Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , определяющего скорость движения Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (3) по поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в пространстве Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью :

S

x

f 0

P

f -

G -

f +

G -

Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Рис. 2. Причем касательный вектор к S Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , следовательно Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Это значит, что функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , удовлетворяющая уравнению (3) в силу доопределения А считается решением уравнения (1). Разумеется, непрерывная функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , которая на данной части рассматриваемого интервала времени проходит в области Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (или в Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ) и там удовлетворяет уравнению (1), а на оставшейся части проходит по поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и удовлетворяет уравнению (3), также считается решением уравнения (1) в смысле доопределения А. В уравнение (3) Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , ( Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ), Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - проекции векторов Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью на нормаль к поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в точке Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (нормаль направлена в сторону области Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ). Вместе с тем множество F(t, x) можно было определить иначе. В качестве ) возьмем произвольное ограниченное выпуклое множество, содержащее отрезок J:

f +

Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Рис. 3. При этом на касательной плоскости появляются векторы, отличные от Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ; это приводит к тому, что кроме решения Филиппова появляются и другие решения. Т.о. определение (А) А.Ф. Филиппова соответствует минимальному возможному определению множества F(t, x) среди всех допустимых. Это удобно в том отношении, что для решения в смысле Филиппова чаще, чем в других случаях, имеет место единственность решения. aЕсли весь отрезок с концами Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью лежит на плоскости P, то скорость движения Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью по поверхности разрыва S определяется неоднозначно. При Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью имеет место скользящий режим, о котором шла речь во введение. Пусть уравнение идеального скольжения имеет вид (3). Вычисляя Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью для Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью из условия Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , находим уравнение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , (4) с помощью котрого и доопределяется движение в скользящем режиме (начальные условия для (4) выбираются на поверхности разрыва, т. е. S(x(0))= 0). Пример 3. Решить систему Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Всякое решение этой системы рано или поздно попадает на прямую Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и уже не может сойти с нее. Если точка М лежит на оси Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то в окрестности этой точки вектор Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , компоненты которого - правые части системы, принимает два значения: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (6,-2) при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Отложим из точки М эти два вектора и соединим их концы отрезком АВ: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Этот отрезок и будет искомым множеством, в котором, согласно определению 3, лежит конец вектора Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью для точки М. В то же время вектор скорости Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью должен лежать на оси Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Т.к. решение не может сойти с нее ни вверх, ни вниз, следовательно, конец вектора лежит в точке пересечения отрезка АВ и оси Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Т.о., этот вектор определяется однозначно. Легко подсчитать, что Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Т.о., связь теорий уравнений (1) с разрывной правой частью с теорией диф. Включений (2) очевидна. Имея уравнение (1) с разрывной f(t, x) необходимо заменить значение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в точке разрыва Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью некоторым множеством. Это множество должно быть ограниченным, выпуклым, замкнутым. Кроме этого оно должно включать все предельные значения Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью при (t, x)Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . После такой замены (для любой точки разрыва) вместо (1) получаем диф. включение (2), в котором многозначная функцияДиплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью удовлетворяет перечисленным требованиям. Однако, в некоторых случаях множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в (2) в точках разрыва функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью нельзя определить, зная только значения функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в точках ее непрерывности. Пример 4. В механической системе с сухим трением: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью масса тела, Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью его отклонение, Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью упругая сила, Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью сила трения, являющаяся нечетной и разрывной при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью =0 функцией скорости Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью -внешняя сила. Трение покоя Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью может принимать любые значения между [d1] своим наибольшим и наименьшим значениями Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и -Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Если Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью =Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то применимо доопределение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Если же Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью >Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то движение с нулевой начальной скоростью зависит не только от значений функции в областях ее непрерывности, но и от величины Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Доопределение А тогда неприменимо. В обоих случаях систему можно записать в виде включения (2). Множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью – точка, а при v=0 – отрезок, длина которого зависит от Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Следовательно, множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью не всегда определяется предельными значениями функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью из (1), и в общем случае это множество надо задавать, используя какие-то сведения о рассматриваемой системе. Необходимость охватить такие системы приводит к следующему способу построения множества F(t,x). Рассмотрим систему Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , (6) где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , вектор-функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью непрерывна по совокупности аргументов, а скалярные или векторные функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью разрывны соответсвенно на множествах Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , i=1,.,r, которые могут иметь общие точки и даже совпадать. В каждой точке (t, x) разрыва функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью задается замкнутое множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - множество возможных значений аргумента Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Предполагается, что при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью аргументы Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью могут независимо друг от друга пробегать соответственно множества Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Обычно, это условие выполнено, если функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью описывают различные независимые составные части (блоки) физической системы. В точках, где функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью непрерывна, множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью состоит из одной точки Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . В точках, разрыва функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью необходимо, чтобы множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью содержало все точки, предельные для точек любой из последовательностей вида Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью k =1,2,.(или Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью k=1,2,.). Потребуем, чтобы множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью было выпуклым (если Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - скалярная функция, то Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - отрезок или точка). Пусть Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (7) множество значений функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , когда t, x постоянны, а Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью независимо друг от друга пробегают соответственно множества Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Определение 4. Решением диф. уравн. (6) называют решение диф. включения (2), где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (или Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - наименьшее выпуклое множество, содержащее множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ). Частными случаями такого способа построения функции F(t,x) является как доопределение А, так и изложенные ниже Б и В. Б. Доопределение методом эквивалентного уравнения (управления). Применяется к уравнениям вида (6), где f – непрерывная вектор-функция, Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - скалярная функция, разрывная только на гладкой поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью 1,., r. Допускоются пересечения и даже совпадения этих поверхностей. В точках, принадлежащих одной или одновременно нескольким поверхноостям, например Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ,., S m (Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , полагают (если решение не может сойти тут же с такой поверхности или с пересечения этих поверхностей) Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , (8) где эквивалентные управления Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью определяются так, чтобы вектор Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в (8) касался поверхностей Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ,., Sm и чтобы значение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью содержалось в отрезке с концами Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью – предельные значения функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью с обеих сторон поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , i=1,., m. Т.о., функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью определяются из системы уравнений Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Определение 5. Решением (6) называется абсолютно непрерывная вектор-функция, которая вне поверхностей Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью удовлетворяет уравнению (6), а на этих поверхностях и их пересечениях – уравнениям вида (8) (при почти всех t ). Например, в случае Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью конец вектора Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью лежит на пересечении касательной к S в точке x с дугой abc , которую пробегает конец вектора f(t,x,u), когда u изменяется от Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью до Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью :
Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
Рис. 4. С геометрической точки зрения, метод эквивалентного управления предполаглет замену разрывного управления на границе разрыва, где оно не определено, ненпрерывным управлением, которое направляет вектор скорости в пространстве состояний системы вдоль пересечения поверхностей разрыва. Например, в системе c одной поверхностью разрыва Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью для нахождения этого вектора в некоторой точке (t, x) нужно построить годограф f(t, x, u), изменяя скалярное управление от Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , и найти точку его пересечения с касательной плоскостью. Точка пересечения определяет Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью диф. уравнения (8) (для r=1 (8) примет вид Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ).
Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью

u + (t,x)

Уравнение (6), доопределенное указаным образом, сводится к диф. включению Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью определено в (7), где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью – отрезок с концами Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ; для тех Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , которые непрерывны в точке (t,x), Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью является точкой Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Правая часть (8) есть вектор с концом в точке пересечения множества Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью с касательной к пересечению поверхностей Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ,., Sm. На рис. 4 множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью – дуга abc, а правая часть (8) – вектор xb. Доопределение А было обосновано лишь для скалярного случая (u - скалярная функция) и лишь с помощью предельных переходов для частных случаев неидеальностей, доопределение Б применимо и в случае векторной разрывной динамической системы (т.е. управляющее воздействия приложены к различным точкам объекта и управление u является векторной величиной ), описываемой уравнениями Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (9) x,f - n-мерные векторы-столбцы, Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - координаты системы, Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - непрерывные функции по всем аргументам (Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ), u - m-мерный вектор-столбец, каждая компонента которого Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью претерпевает разрывы на поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью : Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью i=1, ., m, Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ),Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - непрерывные функции. Если положить Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Для доопределения уравнений идеального скольжения используют метод эквивалентного управления [7]: в уравнение модели (9) вместо Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью подставить Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , которые являются решениями уравнения Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , где строки матрицы G={Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью } размерности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью являются градиентами функций Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Очевидно, что при начальном значении Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в силу условия (10) дальнейшее движение будет происходить по траекториям, лежащим на многообразии S(x)=0. Пример 5. Получить уравнение скольжения для разрывной системы: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью В любой точке прямой разрыва S=0 (т.е. при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ) выполняются условия возникновения скользящего режима Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , а уравнение метода эквивалентного управления (10) имеет вид: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Найдем эквивалентное управление из уравнения Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , откуда Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , подставим его в первое уравнение системы (учитывая Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ): Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Замечание. Метод Филиппова, примененный к рассматриваемой системе, согласно (4) приводит к уравнению Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью движения по прямой S=0. В. Общее дополнение. Оно применяется к уравнениям вида (6), где функция f непрерывна по t,x, Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , а каждая из функций Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью разрывна только на поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , i=1,., r. Пусть Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью те же, что в Б, а Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью – наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Определение 6. Решением уравнения (6) называется решение включения Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (10) Движение по поверхности разрыва S (S(x)=0) может происходить только со скоростью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , где K(t,x)– пересечение множества с плоскостью, касательной к S в точке x. На рис. 4 множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее дугу abc. Если эта дуга лежит в одной плоскости, то множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью – сегмент между этой дугой и ее хордой, заштрихованный на рисунке, а K(t,x) – отрезок, являющийся пересечением этого сегмента с касательной к S в точке x. Если функция f нелинейна по Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то, вообще говоря, множество K(t, x) содержит более одной точки и скорость движения по S определяется неоднозначно. Сравнение определений. Сравним определения А, Б, В. Уравнение (6) можно записать в виде (1) и применить к нему определение А. Т.к. при этом множнство Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью содержит множества Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью из (2) и (7), то каждое решение в смысле определения А и каждое решение в смысле определения Б являются так же решением в смысле определения В. Обратно, вообще говоря, неверно: на рис. 4 множество F – хорда ac, Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - дуга abc, Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - заштрихованный сегмент. Если же функция f линейна по Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и определения Б и В совпадают. Если, кроме того, все поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью различны и в точках их пересечения векторы нормалей линейно независимы, то множества F, Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью совпадают, тогда совпадают и все три определения А, Б, В. Глава III Исследование устойчивости для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. §1.Определение устойчивости. Метод функций Ляпунова. Теория устойчивости создана в 90-х годах 19 в. А.М. Ляпуновым (в 1892 г. появилась знаменитая докторская диссертация “Общая задача об устойчивости движения”). Эта теория нашла широкое применение не только в математике, механике, технике, но и в химии, термодинамике, синергетике. Очень бльшую роль играет решение прроблемы устойчивости движения в небесной механике. На теории Ляпунова базируется современная наука о полете искусственных спутников Земли. Определение устойчивости и асимптотической устойчивости решений диф. уравнений с непрерывной правой частью приводится, например, в [4]. Теория устойчивости движения занимается исследованием влияния возмущающих факторов на движение матариальной системы (под возмущающим фвкторами понимают силы, не учитываемые при написании движения вследствие их малости по сравнению с основными силами); устойчивость по Ляпунову – это близость законов изменения состояния во времени для невозмущенного и возмущенного движений. Сводя вопрос устойчивости невозмущенного движения к вопросу устойчивости положения равновесия, А.М. Ляпунов связывал факт устойчивости или неустойчивости с наличием функции V(t, x) – функции Ляпунова, производная которой по времени, взятая согласно системе диф. уравнений, обладает определенными свойствами. Метод функций Ляпунова является одним из наиболее эффективных методов исследования систем автоматического управления. Значение этого метода далеко не исчкрпывается возможностью установления факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Но в данной работе ограничимся только этим. Метод функций Ляпунова переносится и на случай разрывной правой части системы Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . (1) Как было показано в первой главе, уравнения (1) сводятся к диф. включениям Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (2) Для диф. включений имеются два типа устойчивости: устойчивость и слабая устойчивость. Определение 1. Решение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью дифференциального включения (2) называется устойчивым (соответственно слабо устойчивым), если для каждого Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью существует такое Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , что для каждого такого Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , что Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , каждое решение (соответственно некоторое решение) Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью с начальным условием Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью существует и удовлетворяет неравенству Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ). Асимптотическая устойчивость и слабая асимптотическая устойчивость определяются аналогично, но с дополнительным условием Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Пример 1. Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ). Решение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью асимптотически устойчиво. При Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью любое другое решение достигает положения равновесия x=0 за конечное время, а при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью за бесконечное время. Пример 2. Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , F(x) – отрезок с концами kx и mx. Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - решение. Для других решений имеем Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью При Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью асимптотически устойчиво, при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью устойчиво, при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью слабо асимптотически устойчиво, при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью неустойчиво. Для диф. уравнений с непрерывной правой частью известны теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости [4]. В работе [17] сформулированы подобные теоремы для разрывных систем (1). Но для таких уравнений функция Ляпунова V(t,x) может не принадлежать Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Для функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (т.е. имеются непрерывные производныепервого порядка) определяются верхняя и нижняя производные в силу диф. включения (2): Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью При почти всех t производная Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью существует и удовлетворяет включению (2). При этих t существует Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (3) Теорема 1. Пусть в замкнутой области D (Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ) для всех Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - непустое, ограниченное, замкнутое, выпуклое множество и функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью -непрерывна по t, x; Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и существуют функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , для которыхДиплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Тогда: 1) Если Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в D, то решение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью включения (2) устойчиво. 2) Если, кроме того, существуют функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью причем Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , (Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ),Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то решение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью асимптотически устойчиво. Известные доказательства этих утверждений для диф. уравнений [4] остаются справедливыми и для диф. включений; при этом для оценки сверху функции V(t, x(t)) используют соотношение (3). Теорема 2. Если выполнены условия теоремы 1, но с заменой Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то решение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью слабо устойчиво в случае 1) и слабо асимптотически устойчиво в случае 2). Доказательство теоремы 2 приведено в [17]. Рассмотрим теперь случай, когда функция Ляпунова Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , но удовлетворяет условию Липшица в окрестности каждой точки области D. Тогда для любой абсолютно непрерывной функции x(t), значит и для любого решения, сложная функция V(t, x(t)) абсолютно непрерывна и почти всюду имеет производную по t. Однако решение может в течение некоторого промежутка времени идти по линии или поверхности, на которой grad V не существует, и производную dV/dt, нельзя, как в случае Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , представить в виде Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Для Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью : Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . (4) В случае функции V(t, x), удовлетворяющей условию Липшица, верхнюю и нижнюю производные Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью от функции V в силу включения (2) можно определить как sup и inf правой части (4) по всем Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Тогда теоремы 1и 2 сохраняются. Пример 3. Если Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то нельзя пренебрегать отысканием dV/dt на линиях поверхностях разрыва функции f(t, x) даже в случае доопределения А. Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Но этого недостаточно для применения теоремы 1, т.к. производные Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью разрывны на осях координат, т.е. там же, где разрывны правые части системы. На оси Ox при доопределении А: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , и условия теоремы 1 не выполнены. Тот же результат получается по формуле (4) при h=0: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Т.к. на оси Ox имеем Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то решения по оси удаляются от точки (0, 0) со скоростью 1 и решение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью неустойчиво §2. Некоторые сведения теории дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. При математическом описании эволюции процессов с кратковременными возмущениями часто длительностью возмущения пренебрегают и считают, что эти возмущения носят “мгновенный” характер. Такая идеализация приводит к необходимости исследовать динамические системы с разрывными траекториями или, как их еще называют, диф. уравн. С импульсным воздействием. Определение таких систем приведено [12], они задаются а) системой диф. уравн. Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (5) б) некоторым множествам Ft, заданным в расширенном фазовом пространстве, в) оператором At, заданным на множестве Ft и отображающем его на множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Сам процесс происходит следующим образом: изображающая точка Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , выйдя из точки (t0, x0), движется по кривой {t, x(t)}, определяемой решением x(t) = x(t, t0, x0 ) системы уравнений (1). Движение по этой кривой осуществляется до момента времени t = t1 > t0, в который точка (t, x(t)), встречается с множеством Ft (попадает в точку множества Ft). В момент времени t = t1 точка Pt “мгновенно” перебрасывается оператором At из положения Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в положение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и движется дальше по кривой {t, x(t)}, которая описывается решением Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью системы уравнений (1). Движение по указанной кривой происходит до момента времени t2 > t1, в которой точка Pt снова встречается с множеством Ft. В этот момент под действием оператора At точка Pt мгновенно перескакивает из положения Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и движется дальше по кривой {t, x(t)}, описываемой решением Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью системы уравнений (1), до новой встречи с множеством Ft и т.д. Совокупность соотношений а) – в) называют системой диф. уравнений с импульсным воздействием. Кривую {t, x(t)} описываемую точкой Pt называют интегральной кривой, а функцию x = x(t), которая задает эту кривую – решением системы (1). Систему диф. уравнений с импульсным воздействием (совокупность соотношений а)- в)) можно записать в более компактной форме: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (6) Т.о., решение системы уравнений (2) Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - это функция, удовлетворяющая уравнению (5) вне множества Ft и имеющая разрывы первого рода в точках Ft со скачками Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - состояние системы до и после скачка в момент времени t1. В зависимости от характера импульсного воздействия выделяют несколько видов таких уравнений. Рассмотрим систему с нефиксированными моментами импульсного воздействия, т.е. системы, подвергающиеся импульсному воздействию в момент попадания изображающей точки Pt на заданные поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью расширенного фазового пространства. Тогда система (6) примет вид: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (7) Устойчивость в системах с нефиксированными моментами импульсного воздействия. Определение 2. Решение x(t) системы уравнений (7), определенное при всех t≥t 0, называется устойчивым по Ляпунову, если для произвольных чисел Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью существует такое число Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , что для любого другого решения y(t) уравнений (7) из того Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , что следует, чтоДиплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью при всех t≥t0 таких, что Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью – моменты пересечения интегральной кривой решения x(t) поверхностей Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Определение 3. Решение x(t) системы уравнений (7) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво в определенном выше смысле и если можно указать такое число Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , что для любого другого решения этой системы уравнений, удовлетворяющего неравенству Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью имеет место предельное равенство: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Вопрос исследования устойчивости некоторого решения уравнения (7), как и в случае обыкновенных диф. уравнений, можно свести к вопросу исследования устойчивости тривиального решения некоторой новой системы уравнений с импульсным воздействием. Эта процедура описана в [12], в результате которой получим систему диф. уравн. с импульсным воздействием: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (8) где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью т.е. решение x=x(t) системы (7) перешло в положение равновесия системы (8). Вопрос устойчивости нулевого решения системы (8) можно решить с помощью прямого метода Ляпунова (метод функций Ляпунова). Теорема 3. Если существует положительно-определенная функция, удовлетворяющая в некоторой области D неравенствами Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (9) то тривиальное решение системы уравнений (8) устойчиво. Если же вместо второго из неравенств (9) потребовать, чтобы выполнялось неравенство Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью для всех Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - непрерывная при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью функция, Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то нулевое решение уравнений (8) асимптотически устойчиво. Пример 4. Исследовать вопрос устойчивости нижнего положения маятника, подверженного импульсному воздействию, динамика которого описывается уравнениями: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью В качестве функции Ляпунова возьмем полную механическую энергию невозмущенного маятника Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью находим Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Независимо от свойств поверхностей Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью выполняются условия теоремы (3), следовательно, нулевое решение исходной системы уравнений устойчиво. §3. Связь рассматриваемых теорий. Теория систем с разрывной правой частью может быть сведена к теории диф. уравнений с импульсными возмущениями, а именно к системам с нефиксированными моментами импульсного воздействия, определение которых было дано в §2. Пусть задана система Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (10) где функция f(t, x) претерпевает разрыв на поверхности S: S(t, x)= 0. Тогда множества Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , фигурирующие в определении импульсной системы, для системы (10) примут вид: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью где оператор Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью действует по закону Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Если S(t, x)=0 разрешимо относительно t: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то систему (10) можно записать в виде: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (11) Второе уравнение системы (11) дает возможность решению уравнения (10) сойти с поверхности разрыва. Т.о., диф. уравнения с разрывной правой частью можно подвергнуть импульсному воздействию в момент прохождения изображающей точки поверхности разрыва. Решение X(t) системы (10), сведенной к системе (11) будет строиться следующим образом. Пусть задано начальное условие Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Тогда для Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью функция X(t) совпадает с решением системы (10) при условии Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Для Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью функция X(t) совпадает с решением системы (10) при условии Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ; для Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью – с решением системы (10) при условии Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и т.д. Каждое решение x(t) будет представлять собой непрерывную функцию. Но указанный способ построения решения системы (10) не позволяет доопределить f(t, x) на поверхности разрыва (как при доопределениях А, Б, В), так как осуществляется перескок Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью через поверхность Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . В этом случае система (10) сводится к диф. включению Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (12) где М – множество точек пересечения интегральной кривой поверхностей разрыва Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в моменты Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Тогда решение x(t) (Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ) диф. включения (12) устойчиво по Ляпунову, если для произвольных чисел Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью существует такое число Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , что для любого другого решения Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью включения (12) из того, что Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью следует, что Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью при всех Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью таких, что Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью – моменты пересечения интегральной кривой решения x(t) поверхностей Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Теорема 4. Достаточное условие отсутствия биения решений. Пусть при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью 2, 3,. непрерывны, а функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью удовлетворяют условию Липшица, т.е. Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью при всех i=1, 2, ., Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , и неравенству Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Тогда, если число h достаточно мало, то интегральная кривая любого решения системы уравнений (8) x(t) , определенного при всех Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и лежащего в области Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , пересекает каждую поверхность Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью только один раз. Доказательство этой теоремы приведено в [12]. Теорема 5. Если решение x(t) включения (12), определенное при всех Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью устойчиво по Ляпунову, то оно является устойчивым и для системы (8). Верно и обратное. Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы 4, т.е. исключим случай биения решения уравнения (8) о поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Решение x(t)=0 включения (12) устойчиво. Докажем, что оно будет устойчивым и для системы (8). Для диф. включения (12) существует определенно-положительная функция V(t, x) , удовлетворяющая неравенству Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . При почти всех t производная Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью существует и удовлетворяет включению (12). При этих t существует и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , т.е. выполнено первое неравенство теоремы 3. Т.к. Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью где M – множество точек пересечения интегральной кривой поверхностей разрыва Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в моменты Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то указанная функция V(t, x) , будет удовлетворять и второму неравенству : Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Т.о., выполнены условия теоремы 3 и решение x(t)=0 системы (8) устойчиво. Обратно доказывается аналогично. Заключение. В связи с теорией релейных систем, систем с переменной стуктурой, реализацией законов оптимального управления и иных разрывных систем управления изучается общая теория разрывных систем. Эта теория восходит к задачам механики, где впервые изучались системы с сухим трением в трудах П. Пенлеве (1895 г. “Лекции о трении”) и Аппеля П. В теории систем с разрывной правой частью учитываются как инженерно-физические, так и чисто математические соображения. Эта теория обеспечивает возможность математического исследования указанных систем, т. е. включает стандартные теоремы существования решений, их проджолжимости, теоремы качественной теории. Во второй главе приведено определение решения разрывных систем А.Ф. Филиппова. Как было отмечено, это определение соответствует минимальному возможному построению множества F(t, x) среди всех допустимых. Помимо определения Филиппова имеются и другие определения решений разрывных систем и диф. включений: Айзермана и Пятницкого [1] Викторовского [6], Матросова [8]. Теория систем с разрывными правыми частями основывается на теории дифференциальных включений, развитой Маршо и Зарембой (1934 г.), затем дополненной многочисленными авторами, в частности Важевским (1961 г.) и др. Связь этих теорий указана в §2 главы II. В третьей главе эти системы сводятся к системам дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Сформулирована и доказана теорема об устойчивости таких систем. Литература. 1. Айзерман М. А., Пятницкий Е. С. Основы теории разрывных систем I, II. – Автоматика и телемеханика, 1974, № 7, 33-47, № 8, 39-61. 2. Алимов Ю. И. Об устойчивости в целом равновесного состояния нелинейных систем автоматического регулирования. – Известия вузов, Радиофизика, 1959, 2, № 6. 3. Андронов А. А., Витт А.А., Хайкин Р.Э. Теория колебаний. – М.: Физматгиз, 1959. 4. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. – М.: Наука, 1967. 5. Барбашин Е.А., Алимов Ю.И. Ктеории релейных дифференциальных уравнений. – Известия вузов, сер. матем., 1962, № 1, 3-13. 6. Викторовский Е.Е. Об одном обобщении понятия интегральных кривых для разрывного поля направлений. – Математический сборник, 1954, 34, № 2, 213- 248. 7. Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. – М.: Наука, 1978. 8. Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями I, II. – Диф. уравн.,1967, 3, № 3, 395-409; № 5, 869-878. 9. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных коледаний. – М.: Наука, 1972. 10. Неймарк Ю.И. о скользящем режиме релейных систем автоматического регулирования. – Автоматика и телемеханика, 1957, 18, № 1. 11. Рожко В.Ф. Устойчивость по Ляпунову в разрывных динамических системах. – Диф. уравн., 1975, 11, № 6 1005-1012. 12. Самойленко А.М. Пересчук Н.А. Системы диф. уравн. с импульсным возмущением. М.: Наука, 1987. 13. Терия систем с переменной структурой / Под ред. Емельянова С. В. – М.: Наука, 1981. 14. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. – М.: Наука,1981. 15. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой. – М.: Наука, 1974. 16. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – Математический сборник, 1960, 51, № 1, 99-128. 17. Филиппов А.Ф. дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – М.: Наука, 1985. 18. Филиппов А.Ф. Система диф. уравн. с несколькими разрывными функциями. – Математические заметки, 1980, 27, № 2, 255-266. 19. Филиппов А.Ф. Устойчивость для диф. уравн. с разрывными и многозначными правыми частями. – Диф. уравн., 1979, 15, № 6, 1018-1027. [d1]
рефераты Рекомендуем рефератырефераты

     
Рефераты @2011