Диплом: Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа

Томский государственный университет

Факультет прикладной математики и кибернетики

Кафедра теории вероятности и математической статистики

ДОПУСТИТЬ К ЗАЩИТЕ В

ГАК

Зав. каф. ТВ и МС, д-р тех. наук, профессор

____________

«__» ________ 2002г.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ В СЕТЯХ СЛУЧАЙНОГО

ДОСТУПА

(Дипломная работа)

Научный руководитель

д-р тех. наук, профессор

__________

Автор работы

__________

Томск 2002

Содержание

Введение.............................. 3

1. Исследование нестационарной сети случайного доступа с динамическим

протоколом в условиях большой загрузки ......... 6

2. Исследование неоднородной нестационарной сети случайного

доступа с динамическим протоколом в условиях перегрузки...... 19

3. Исследование нестационарной сети случайного доступа со

статическим протоколом в условиях большой задержки........ 28

4. Исследование стационарного режима в сети с динамическим протоколом

случайного множественного доступа для конечного

числа станций........................ 41

4.1. Асимптотический анализ распределения вероятностей состояний сети......45

4.2. Численный метод анализа распределения вероятностей.... 52

4.3. Определение области применимости асимптотических формул 55

Заключение.............................. 60

Список использованной литературы.................. 62

Введение

В последнее время во многих областях производства возникает необходимость

использования процессов распределенной обработки информации, причем на самых

различных уровнях: от отдельного учреждения до целой сети предприятий,

охватывающей огромные расстояния. Поэтому вполне естественно наблюдаемое ныне

бурное развитие сетей связи, позволяющих соединять в единые системы различные

устройства вычислительной техники. При этом научные исследования,

направленные на улучшение функционирования сетей, ведутся в двух

направлениях: повышения физических характеристик канала передачи и создания

эффективных сетевых протоколов, позволяющих использовать физические

возможности канала оптимальным образом.

При оптимизации и проектировании сетей передачи данных наиболее действенным

инструментом является использование математического моделирования. Для того

чтобы исследовать уже существующие сети связи специалисты по сетям используют

различные анализаторы протоколов, но такие методы не позволяют получать

вероятностно-временные характеристики для еще не существующих сетей,

находящихся на стадии проектирования. В этих случаях необходимо использовать

средства моделирования, с помощью которых разрабатываются адекватные модели,

описывающие процессы, протекающие в сетях, и проводится всесторонний анализ

этих процессов.

Исследование поведения систем связи из-за случайных влияний возможно только с

помощью случайных процессов [1]. Выбор случайных процессов, используемых для

описания и анализа систем, зависит от структуры и типа системы, от

предположений о независимости или зависимости случайных величин, от вида их

функций распределения. Поэтому для исследования таких систем часто

используется аппарат теории массового обслуживания [2]. Использование этого

аппарата позволяет построить математические модели изучаемой сети связи [3] и

провести теоретические исследования параметров функционирования реальной

системы.

В классической литературе различают два основных класса систем массового

обслуживания [2]: системы с потерями (без очереди) и системы с ожиданиями, а

также комбинация этих двух типов – система с ожиданием и потерями (например,

система с ограниченным числом мест для ожидания в бункере) [4].

Математические модели спутниковых сетей связи с протоколами случайного

множественного доступа формируют третий класс СМО – системы с повторными

вызовами. Развитие сетей с множественным доступом началось с появления работы

Абрамсона, в которой описано функционирование территориально-распределенных

терминалов, соединенных центральной ЭВМ по радиоканалам. Эта система получила

название ALOHA. Особенностью протоколов множественного доступа является то,

что на множестве станций не вводится изначальной строгой очередности. Каждая

станция после появления у нее готового пакета вправе его передавать сразу же,

как только обнаружит канал свободным. При этом не исключена возможность, что

она попадет в конфликт, то есть ее пакет столкнется с пакетом другой станции.

В подобных случаях станция прекращает передачу и генерирует случайную

задержку, после которой вновь пытается занять канал.

Асимптотические методы [5] играют важную роль при исследовании различных

математических моделей, в том числе таких, которыми описывается

функционирование различных типов систем массового обслуживания. Точные

формулы для решений удается получить, как правило, лишь в исключительных

ситуациях, характеризующихся наложением ограничений на статистическую природу

процессов, управляющих системой (таковыми обычно являются входящий поток

требований и процесс обслуживания). Однако часто, применяя различные

асимптотические методы можно получить удовлетворительное для практики

приближенное (асимптотическое) решение задачи при весьма широких

предположениях относительно входа и обслуживания даже при отсутствии явного

вида распределений характеристик.

Говоря об асимптотических методах, асимптотическом решении и т. д., мы

предполагаем, что исследуемая система (или исследуемый процесс, связанный с

функционированием системы) характеризуется наличием (одного или нескольких)

параметра s, имеющего определенный физический смысл, значение которого

близко к некоторому «критическому» значению

. В каждом конкретном случае параметр s, его предельное значение

и характер приближения s к

имеют вполне определенный смысл, вытекающий из постановки задачи. Часто таким

параметром считают время t, и нас интересует поведение тех или иных

характеристик СМО в достаточно удаленный от начала момента функционирования

системы момент времени. В СМО существенное значение имеет поведение загрузки

системы, особенно когда загрузка стремится к критической. Асимптотический метод

применяется, если интенсивность повторения заявки в системах с повторными

вызовами стремится к нулю. Во всех случаях можно найти асимптотическую

плотность распределения вероятностей основных стохастических параметров,

обусловливающих функционирование исследуемой системы.

В качестве предельных процессов в теории массового обслуживания чаще других

возникают диффузионные марковские процессы [6].

Предложенный метод анализа марковизируемых систем [7] обычно имеет два этапа.

На первом этапе удается определить асимптотическое среднее исследуемых

характеристик системы, а на втором – распределение вероятностей значений

отклонений рассматриваемых характеристик от их асимптотических средних.

1. Исследование нестационарной сети случайного доступа с динамическим

протоколом в условиях большой загрузки

Рассмотрим спутниковую сеть связи, управляемую динамическим протоколом

случайного множественного доступа с оповещением о конфликте. Архитектура

такой сети состоит из большого числа территориально-распределенных

абонентских станций (АС), которые передают сообщения через геостационарный

спутник-ретранслятор. Так как спутниковый канал связи совместно используют

все АС, то возможно совпадение времени ретрансляции сообщений от двух или

более АС, при этом сообщения искажаются и требуют повторной передачи. Такая

ситуация называется конфликтом. Предполагается, что спутник-ретранслятор

имеет возможность обнаружения возникающих конфликтов и реализации сигнала

оповещения. Абонентские станции способны воспринимать (идентифицировать)

сигнал оповещения о конфликте, так, чтобы в каждой АС по прошествии заданного

времени распространения сигнала можно было определить, правильно приняты

переданные сообщения или нет.

Сообщения, поступающие на спутник-ретранслятор во время распространения

сигнала оповещения о конфликте, считаются искаженными. Все искаженные

сообщения поступают в источник повторных вызовов (ИПВ). После определения АС

того, что посланное сообщение попало в конфликт, АС производит случайную

задержку, после которой вновь реализует передачу. В динамическом протоколе

предлагается использовать случайную задержку повторной попытки,

распределенную экспоненциально с параметром, зависящим от количества

сообщений, находящихся в ИПВ. Динамические протоколы, как правило, не

реализуемы. Но могут приближенно оценивать функционирование адаптивных

протоколов, в которых количество заявок в ИПВ заменяется некоторым оценочным

числом.

В качестве математической модели сети связи, управляемой динамическим

протоколом случайного множественного доступа с оповещением о конфликте,

рассмотрим однолинейную СМО. Прибор (спутник-ретранслятор) может находиться в

одном из трех состояний:

Каждая заявка в момент поступления в систему встает на прибор и немедленно

начинает обслуживаться. Если за время ее обслуживания другие заявки не

поступали, то она после окончания обслуживания покидает систему и в

дальнейшем не рассматривается. Если же за время ее обслуживания поступает

другая заявка, то возникает конфликтная ситуация и начинается этап оповещения

о конфликте, длительность которого распределена по экспоненциальному закону.

Заявки, попавшие в конфликт, а также поступающие в систему во время оповещения о

конфликте, автоматически переходят в источник повторных вызовов (ИПВ). Из него

они вновь обращаются к прибору с попыткой повторного обслуживания через

случайные интервалы времени, распределенные по экспоненциальному закону с

параметром (i

– число заявок в ИПВ в момент времени t), и могут вновь попасть в

конфликтные передачи. После успешной передачи заявка покидает систему.

Время обслуживания распределено по одному и тому же показательному закону с

параметром , как

для первичных, так и для повторных вызовов.

Будем считать, что на вход системы поступает простейший поток заявок с

параметром .

Структура такой СМО имеет вид рис. 1.1.

Состояние рассматриваемой системы определим вектором

, изменение во времени которого образует однородный дискретный двумерный

марковский процесс

с бесконечным числом состояний.

Рис. 1.1 – Модель системы массового обслуживания

Математическая модель исследуемого протокола множественного доступа

построена, проведем ее анализ, получим аналитические выражения, определяющие

зависимости для основных ее характеристик.

Для исследования процесса введем следующие обозначения

,

вероятность того, что в момент времени t прибор находится в состоянии

k и в ИПВ находится i заявок.

Рассмотрим вероятности переходов из состояния системы

в произвольный момент времени t в состояние

за бесконечно малый интервал времени

.

1. Пусть система находится в состоянии

, то есть в ИПВ находится i заявок и прибор свободен, за интервал

времени состояние

системы может измениться таким образом (рис. 1.2):

а) с вероятностью

из входящего потока требований поступит новая заявка, которая немедленно займет

прибор и начнет обслуживание, тогда система в момент времени

будет находиться в состоянии

;

б) с вероятностью к

прибору обратится одна из i заявок, находящихся в ИПВ и система

перейдет в состояние

;

в) с вероятностью состояние системы не изменится.

2. Пусть система в момент времени t находится в состоянии

, то есть прибор занят обслуживанием заявки и в ИПВ находится i

требований, за интервал времени

возможны следующие переходы (рис. 1.3):

а) с вероятностью

прибор успешно завершит обслуживание, и в момент времени

система будет находиться в состоянии

;

б) с вероятностью в

систему поступит новое требование из входящего потока и произойдет конфликт.

Как вновь поступившая, так и заявка с прибора перейдут в ИПВ, и начнется

интервал оповещения о конфликте, следовательно, система перейдет в состояние

;

в) с вероятностью к

прибору обратится одна из заявок с ИПВ, произойдет конфликт, и обе заявки

переместятся в ИПВ, следовательно, система в момент времени

будет находиться в состоянии

;

г) с вероятностью состояние системы не изменится.

3. Пусть система в момент времени t находится в состоянии

. Посмотрим, что произойдет через интервал времени длины

(рис. 1.4):

а) с вероятностью к

прибору обратится заявка из входящего потока, которая автоматически попадет в

ИПВ. В момент времени

система будет в состоянии

;

б) с вероятностью

интервал оповещения о конфликте завершится, и система перейдет в состояние

;

в) с вероятностью состояние системы не изменится.

Все остальные вероятности переходов не превышают порядка малости .

Рис. 1.2 – Возможные переходы из состояния

Рис. 1.3 – Возможные переходы из состояния

Рис. 1.4 – Возможные переходы из состояния

Таким образом, можно записать систему конечно-разностных уравнений для

вероятностей

состояний системы:

следовательно, в нестационарном режиме, эти вероятности удовлетворяют системе

дифференциально-разностных уравнений

,

, (1.1)

,

где ,

решить которую практически невозможно, но можно решить асимптотически в условиях

«большой загрузки», т.е. при

, , где

пропускная способность исследуемой сети связи (верхняя граница множества тех

значений загрузки ,

для которых в системе существует стационарный режим).

Рассмотрим исходную систему уравнений (1.1) и произведем в ней замену

переменных: ,

, ,

. В результате замены производится переход от дискретной переменной

к непрерывной переменной

. В новых обозначениях производная равна

.

Тогда систему (1.1) перепишем

,

, (1.2)

Получим вид решения системы (1.2), которую будем решать в три этапа.

1 этап. В уравнениях (1.2) устремим и обозначим , заметим что, . Будем иметь

,

, (1.3)

.

Выразим через и получим

,

, (1.4)

.

где

– асимптотическая плотность распределения вероятностей нормированного числа

заявок в ИПВ.

Введем обозначения

(1.5)

( - это

асимптотическая вероятность того, что обслуживающий прибор находится в

состоянии k). Из системы (1.3) следуют равенства, связывающие

, ,

и выглядят так

(1.6)

.

Найдем вид функции . Для этого перейдем ко второму этапу.

2 этап. Неизвестные функции будем искать с точностью до в следующем виде

, (1.7)

Определим вид функций

, для этого в системе уравнений (1.2) разложим функции с аргументом

в ряд по приращению аргумента

(ограничиваясь двумя слагаемыми), будем иметь

,

, (1.8)

В полученные уравнения подставим

в форме (1.7), заменим

разностью , сумму

на G и не учтем слагаемые, имеющие порядок

. Получим

,

(1.9)

Теперь приведем подобные слагаемые, учтем равенства (1.6), и получим

неоднородную линейную систему алгебраических уравнений для нахождения

неизвестных функций

такого вида

,

, (1.10)

Нетрудно заметить, что ранг матрицы однородной системы алгебраических

уравнений, соответствующей (1.10) равен двум. Следовательно, для того, чтобы

система была разрешима, необходимо, чтобы ранг расширенной матрицы этой

системы был равен двум, т.е. чтобы выполнялось следующее равенство

. (1.11)

С учетом того, что

равенство (1.11) принимает вид

. (1.12)

Равенство нулю производной противоречит смыслу задачи, следовательно

, т. е. пропускная способность исследуемой сети связи равна асимптотической

вероятности того, что обслуживающий прибор «обслуживает», на рис. 1.5

продемонстрирован этот результат.

S

G

Рис. 1.5

Таким образом, мы выяснили, что система (1.10) разрешима. Ее решение можно

записать так

,

- произвольная

функция, (1.13)

.

Перейдем к третьему этапу.

3 этап. Запишем уравнения системы (1.2) с точностью до , получим

,

(1.14)

Как и на втором этапе в полученные уравнения подставим

в форме (1.7), заменим

разностью , сумму

на G и не учтем слагаемые, имеющие порядок выше

, получим

(1.15)

Просуммировав все уравнения системы (1.15), получим равенство для нахождения

(1.16)

Подставляя выражения для

, найденные на втором этапе, для

получим уравнение Фоккера-Планка

, (1.17)

где

Решим уравнение (1.17) с помощью преобразования Лапласа по x. Левую и

правую части уравнения умножим на

и проинтегрируем. С учетом обозначения

и свойств этой функции уравнение (1.17) приобретет вид

(1.18)

Таким образом, мы перешли от уравнения Фоккера-Планка с постоянными

коэффициентами к обыкновенному дифференциальному уравнению, решение которого с

точностью до неизвестных

, и

записывается следующим образом

(1.19)

Для того чтобы получить окончательное решение уравнения (1.17) нужно провести

дополнительное исследование, которое бы показало поведение исследуемого

процесса в окрестности нуля. Используя асимптотику

, это не удается сделать.

Предположим, что сеть связи функционирует в стационарном режиме, тогда (1.17)

перепишется в виде

(1.20)

Следовательно, в стационарном режиме асимптотическое распределение вероятностей

нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов подчиняется

экспоненциальному закону с параметром

и имеет вид

(1.21)

2. Исследование неоднородной нестационарной сети случайного доступа с

динамическим протоколом в условиях перегрузки

Рассмотрим сеть связи, описанную в разделе 1, в которой интенсивность входящего

потока зависит от времени и равна

, где Т – некоторый интервал времени, в течение которого функционирует сеть

связи. Структура сети изображена на рис. 2.1.

Рис. 2.1 – Модель системы массового обслуживания

В нестационарном режиме распределение

удовлетворяют системе дифференциально-разностных уравнений вида

(2.1)

где , , , .

Замечание: система уравнений (2.1) получена аналогично системе уравнений

(1.1). Вероятности переходов для состояний системы совпадают с точностью до

замены .

Систему (2.1) будем решать в условиях перегрузки, то есть при .

Первое приближение

В системе уравнений (2.1) произведем замену переменных:

. В результате такой замены производится переход от дискретной переменной

к непрерывной переменной

, от t перешли к

, причем такое, что

. После замены производная равна

.

Тогда уравнения (2.1) перепишем

(2.2)

Решим систему уравнений (2.2) в два этапа.

1 этап. Считая и предполагая, что будем иметь

(2.3)

.

Выразим через функцию и получим

(2.4)

где

асимптотическая плотность распределения нормированного числа заявок в источнике

повторных вызовов.

Обозначим

(2.5)

( - это

асимптотическая вероятность того, что обслуживающий прибор находится в

состоянии k). Заметим, что из системы (2.3) следуют равенства

связывающие ,

и

(2.6)

.

Найдем вид функции , для этого перейдем ко второму этапу.

2 этап. В системе дифференциальных уравнений (2.2) все

функции с аргументом

разложим в ряд по приращению аргумента

, ограничиваясь слагаемыми порядка

, получим

(2.7)

Просуммируем левые и правые части уравнений системы (2.7) и получим равенство

. (2.8)

С учетом того, что

равенство (2.8) принимает вид

. (2.9)

Уравнение (2.9) является однородным линейным уравнением с частными

производными первого порядка. Для того чтобы его решить составим уравнение

,

его решение , тогда

Общее решение уравнения (2.9) имеет вид

, (2.10)

где - произвольная

дифференцируемая функция, аналитическое выражение которой найдем из начальных

условий.

Пусть распределение в начальный момент времени

где некоторая

плотность распределения. Тогда

следовательно .

Возьмем в качестве начальной плотности распределения

, где -

дельта-функция Дирака, а

, - число заявок в

источнике повторных вызовов в начальный момент времени.

Таким образом , из свойств функции Дирака следует, что .

То есть мы получили, что , имеет смысл асимптотического среднего.

Из приведенных рассуждений вытекает еще одно важное следствие, а именно

имеет место

, тогда

(отрицательная функция

противоречит смыслу задачи). В нашем случае

совпадает с пропускной способностью системы.

Перейдем ко второму приближению, в котором будем искать распределение

отклонения от асимптотического среднего.

Второе приближение

В исходной системе уравнений (2.1) сделаем замену переменных .

Заметим, что в новых обозначениях производная по времени равна

. С учетом этого система (2.1) примет вид

(2.11)

Решение системы уравнений (2.11) аналогично решению системы (2.2), но

проводится в три этапа.

1 этап. В системе дифференциальных уравнений (2.13) сделаем

предельный переход при

и предположим, что

, получим

(2.12)

.

Решим эту систему аналогично тому, как решили систему уравнений (2.3). Введем

функцию и выразим

через нее , получим

(2.13)

где асимптотическая

плотность распределения отклонения числа заявок в источнике повторных вызовов

от асимптотического среднего.

2 этап. Функции будем искать с точностью до в форме

(2.14)

Найдем вид функций ,

и . Для этого в

системе дифференциальных уравнений (2.11) все функции с аргументом

разложим в ряд по приращению аргумента

, ограничимся слагаемыми порядка

. Получим

(2.15)

В уравнения (2.15) подставим

в форме (2.14), приведем подобные и получим систему неоднородных линейных

алгебраических уравнений относительно

вида

,

, (2.16)

Нетрудно увидеть, что между уравнениями этой системы есть зависимость и ранг

матрицы системы равен, следовательно, чтобы решение уравнений

(2.16)существовало, необходимо выполнение равенства

(2.17)

Из однородного линейного уравнения с частными производными первого порядка (2.9)

мы знаем, что .

Таким образом, можно сделать вывод, что система (2.16) разрешима. При условии,

что функция

известна, решение можно записать в виде

,

(2.18)

Теперь все готово, для того, чтобы найти функцию . Перейдем к третьему этапу.

3 этап. В системе дифференциальных уравнений (2.11) все

функции с аргументом

разложим в ряд по приращению аргумента

, ограничиваясь слагаемыми порядка

, получим

(2.19)

Теперь подставим в уравнения (2.19)

в форме (2.14) и просуммируем левые и правые части уравнений, будем иметь

(2.20)

Подставляя вместо и

их выражения, полученные на втором этапе получим для

уравнение Фоккера-Планка

, (2.21)

где

Нормированным решением полученного одномерного уравнения диффузии [8]

является плотность нормального распределения вероятностей с нулевым средним и

дисперсией

. (2.22)

3. Исследование нестационарной сети случайного доступа со статическим

протоколом в условиях большой задержки

Исследуем сеть связи, функционирование которой изложено в разделе 1, в условиях

большой задержки. В этом случае удобнее рассматривать случай, когда

интенсивность каждой заявки в ИПВ равна

. Структура такой СМО имеет вид рис. 3.1.

Рис. 3.1 – Модель системы массового обслуживания

Вероятности переходов из состояния системы

в произвольный момент времени t в состояние

за бесконечно малый интервал времени

показаны на рис. 3.2, рис. 3.3, рис. 3.4.

Выпишем уравнения статистического равновесия для нестационарного распределения

процесса ,

описывающего функционирование сети

(3.1)

где

Рис. 3.2 – Возможные переходы из состояния

Рис. 3.3 – Возможные переходы из состояния

Рис. 3.4 – Возможные переходы из состояния

Найти точное аналитическое решение системы (3.1) практически невозможно, но

можно решить асимптотически в условиях большой задержки, то есть при

.

Первое приближение

Для асимптотического решения системы (3.1) сделаем замену переменных

. В результате замены производится переход от дискретной переменной

к непрерывной переменной

.

В новых обозначениях . Тогда система (3.1) примет вид

(3.2)

Получим вид решения системы (3.2), которую будем решать в два этапа.

1 этап. Считая и предполагая, что , будем иметь

(3.3)

.

Выразим через функцию и получим

(3.4)

где

- асимптотическая плотность нормированного числа заявок в источнике повторных

вызовов.

Обозначим

(3.5)

Заметим, что из системы (3.3) следуют равенства

(3.6)

.

Осталось найти вид функции . Для этого перейдем ко второму этапу.

2 этап. В системе (3.2) разложим функции по приращению

аргумента ,

ограничиваясь слагаемыми порядка

, получим систему

(3.7)

Просуммируем полученные уравнения, поделим на и перейдем . Тогда будем иметь

. (3.8)

С учетом того, что

равенство (3.8) принимает вид

. (3.9)

Таким образом мы получили, что

удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка с коэффициентом переноса равным

, и нулевым коэффициентом диффузии. Из определения для коэффициента переноса

можно сделать вывод, что

, то есть зависит

от времени и –

имеет смысл асимптотического среднего, в ее окрестности достаточно долго

флуктуируют значения нормированного процесса

.

Второе приближение

Зная асимптотическое среднее, найдем распределение вероятностей значений

отклонения от его

среднего. Для этого в исходной системе уравнений (3.1) сделаем замену

переменных ,

, ,

.

В новых обозначениях производная равна

.

Будем иметь

(3.10)

Решение системы (3.10) аналогично решению системы (3.2), но проводится в три

этапа.

1 этап. В системе дифференциальных уравнений (3.10) положим

и найдем решение в виде

(3.11)

где –

асимптотическое распределение нормированного числа заявок в источнике повторных

вызовов в окрестности асимптотического среднего.

Перейдем ко второму этапу.

2 этап. Неизвестные функции будем искать с точностью до форме

(3.12)

где имеют вид

аналогичный (3.5), где в качестве

выступает и для них

справедливы равенства (3.7).

Найдем вид функций .

С точностью до (3.10) запишем

(3.13)

В уравнения (3.13) подставим

в форме (3.12), уничтожим подобные слагаемые и получим систему неоднородных

линейных алгебраических уравнений относительно функций

вида

,

, (3.14)

Система (3.14) будет иметь решение, если

. Из уравнения Фоккера-Планка (3.9) мы знаем, что

. Таким образом, можно сделать вывод, что система (3.14) разрешима. При условии,

что функция

известна, решение системы (3.14) можно записать так

(3.15)

Перейдем к третьему этапу.

3 этап. С точностью до уравнения (3.10) запишем следующим образом

(3.16)

Теперь подставляем в систему уравнений (3.16)

в форме (3.12), оставляем слагаемые, имеющие порядок не выше

и суммируем уравнения. Получим равенство для нахождения

(3.17)

В полученное равенство подставим выражения для функции

и , найденные на

втором этапе. В результате приведения подобных, для

получим уравнение Фоккера-Планка

(3.18)

с коэффициентом переноса и коэффициентом диффузии

Уравнение Фоккера-Планка (3.18) получено для некоторого диффузионного процесса

, плотность распределения вероятностей которого

.

Запишем стохастическое дифференциальное уравнение для в общей форме

, (3.19)

где - винеровский

процесс с нулевым средним и единичным коэффициентом диффузии, в нашем случае

оно приобретает вид

. (3.20)

Введем новый случайный процесс , (3.21)

для его приращения справедливо

Выберем функцию

так, чтобы она удовлетворяла дифференциальному уравнению

. Например, . Тогда

и, следовательно, .

Выразим из (3.21) функцию (заметим, что ) и получим

(3.22)

Анализируя вид процесса

можно сделать вывод, что он распределен по нормальному закону. Найдем

и , которые

полностью определяют вид плотности распределения

. Учитывая свойства винеровского процесса, получим

(3.23)

Найдем дисперсию.

рассмотрим второе слагаемое подробнее. Для этого введем обозначение

, тогда получим

С учетом того, что будем иметь

Тогда в окончательном варианте дисперсия равна

(3.24)

Теперь можно записать решение уравнения Фоккера-Планка (3.18), которое имеет вид

(3.25)

Пусть , где

- точка покоя дифференциального уравнения

, которая определяется конечным уравнением

, (3.26)

где .

Возможны три варианта:

1. , тогда точек покоя не существует (рис. 3.5).

2. , тогда существует одна точка покоя .

3. , тогда существует две точки покоя и .

Для примера рассмотрим случай, когда

(рис. 3.6). Тогда уравнение (3.26) имеет единственный корень

. Коэффициенты диффузии уравнения Фоккера-Планка не зависят от времени и равны

. Если взять , то

уравнение (3.26) будет иметь два корня

и (рис. 3.7). Для

первой точки коэффициенты диффузии равны

, для второй .

Точка является

нежелательной. Если предположить, что сеть связи работает в стационарном

режиме, то в окрестности точки

распределение нормированного числа заявок в ИПВ является нормальным [1] и имеет

вид

, (3.27)

Рис. 3.5

Рис. 3.6

Рис. 3.7

4. Исследование стационарного режима в сети с динамическим протоколом

случайного множественного доступа для конечного числа станций

Рассматривается сеть связи, состоящая из конечного числа малых абонентских

станций, центральной станции и спутника ретранслятора. Спутник, приняв

сообщение от периферийной станции передает его на центральную. Так как

спутниковый канал связи совместно используют все станции, то возможно

совпадение времени ретрансляции сообщений, при этом сообщения искажаются

(попадают в конфликт) и требуют повторной передачи. Архитектура подобных

сетей связи позволяет реализовать протоколы случайного множественного доступа

с оповещением о конфликте, в которых для избежания искажения других

сообщений, центральной станцией рассылается сигнал оповещения о конфликте.

Сообщения, попавшие в конфликт, должны будут переданы абонентскими станциями

повторно после случайной задержки для избежания повторных конфликтов.

Математической моделью рассматриваемой сети связи может служить однолинейная

система массового обслуживания, на вход которой поступает примитивный поток

неповторных требований с параметром

, где N – число периферийных абонентских станций сети, i – число

тех АС, которые либо передают свои сообщения, либо осуществляют их случайную

задержку для повторной передачи,

, если обслуживающий канал (спутник) свободен,

, если обслуживающий канал осуществляет успешную передачу.

Каждое требование в момент поступления в систему встает на прибор и начинает

обслуживаться. Отправив заявку на обслуживание, АС не генерирует других заявок

до тех пор, пока отправленная заявка не обслужится успешно. Обслуживание

экспоненциальное с параметром m. Если за время обслуживания какого-либо

требования другие заявки не поступали в систему, то исходное требование

считается успешно обслуженным и покидает систему. В противном случае, т.е.

когда одновременно обслуживались два или более требований, происходит конфликт.

Продолжительность этапа оповещения о конфликте распределена по

экспоненциальному закону с параметром

. Заявки, попавшие в конфликт, переходят в ИПВ, откуда пытаются встать на

обслуживание вновь через экспоненциально (с параметром

) распределенную задержку. Структура такой СМО имеет вид рис. 4.1.

N

Рис. 4.1 – Модель системы массового обслуживания

Состояние исследуемой сети связи можно описать двумерной случайной величиной

, изменение во времени которой образует двумерный процесс

.

Случайная величина

описывает состояние обслуживающего канала в момент времени t и принимает

три значения:

величина показывает число заявок в ИПВ в момент времени t .

Рассмотрим вероятности переходов из состояния системы

в произвольный момент времени t в состояние

за бесконечно малый интервал времени

.

1. Пусть система находится в состоянии

, то есть в ИПВ находится i заявок и прибор свободен, за интервал

времени состояние

системы может измениться таким образом:

а) с вероятностью

из входящего потока требований поступит новая заявка, которая немедленно займет

прибор и начнет обслуживание, тогда система в момент времени

будет находиться в состоянии

;

б) с вероятностью к

прибору обратится одна из i заявок, находящихся в ИПВ и система

перейдет в состояние

;

в) с вероятностью состояние системы не изменится.

2. Пусть система в момент времени t находится в состоянии

, то есть прибор занят обслуживанием заявки и в ИПВ находится i

требований, за интервал времени

возможны следующие переходы:

а) с вероятностью

прибор успешно завершит обслуживание, и в момент времени

система будет находиться в состоянии

;

б) с вероятностью

в систему поступит новое требование из входящего потока, произойдет конфликт.

Как вновь поступившая, так и заявка с прибора перейдут в ИПВ, и начнется

интервал оповещения о конфликте, следовательно, система перейдет в состояние

;

в) с вероятностью к

прибору обратится одна из заявок с ИПВ, произойдет конфликт, и обе заявки

переместятся в ИПВ, следовательно,

система в момент времени будет находиться в состоянии ;

г) с вероятностью состояние системы не изменится.

3. Пусть система в момент времени t находится в состоянии

. Посмотрим, что произойдет через интервал времени длины

:

а) с вероятностью

к прибору обратится заявка из входящего потока, которая автоматически попадет в

ИПВ. В момент времени

система будет в состоянии

;

б) с вероятностью

интервал оповещения о конфликте завершится, и система перейдет в состояние

;

в) с вероятностью состояние системы не изменится.

Все остальные вероятности переходов не превышают порядка малости .

Процесс является марковским, распределение которого

в стационарном режиме удовлетворяет системе уравнений

(4.1)

4.1. Асимптотический анализ распределения вероятностей состояний сети

Систему уравнений (4.1) будем решать асимптотическим методом марковизируемых

систем [7] при .

Первое приближение

В системе уравнений (4.1) сделаем следующие замены переменных:

. В результате такой замены производится переход от дискретной переменной

к непрерывной переменной

. В новых обозначениях система (4.1) примет вид

(4.2)

Получим вид решения системы (4.2), которую будем решать в два этапа.

1 этап. Устремим к нулю и обозначим . Тогда система (4.2) перейдет в систему

(4.3)

решение которой имеет вид

(4.4)

где

– асимптотическая плотность распределения вероятностей нормированного числа

заявок в ИПВ.

Осталось найти вид функции , для этого перейдем ко второму этапу.

2 этап. В системе (4.2) все функции с аргументом

разложим в ряд по приращению аргумента

, ограничиваясь слагаемыми порядка

, получим

(4.5)

Сложив все уравнения системы, будем иметь

(4.6)

В полученном равенстве поделим левую и правую части на

и , прейдем к такому

равенству

(4.7)

Подставим в (4.7) функции в форме (4.4) и получим

(4.8)

следовательно

(4.9)

где С – некоторая постоянная.

Необходимо найти константу C. Нетрудно заметить, что при х=0

выражение в фигурных скобках не положительно, следовательно

, а при х=1 .

Итак, . Таким

образом, произведение двух функций равно нулю, следовательно,

может принимать какое-либо ненулевое значение лишь в тех точках, в которых

выражение в скобках равно нулю.

Получим функцию ,

везде равную нулю, за исключением точек, являющихся корнями уравнения

после преобразований это выражение принимает вид

(4.10)

Так как – плотность

распределения вероятностей, то должно выполняться условие нормировки

. Этим условиям удовлетворяет лишь функция вида

,

где – корни уравнения (4.10), n – число корней, .

Если уравнение (4.10) имеет единственный корень

, то эту точку назовем точкой стабилизации, потому что она является модой

распределения вероятностей нормированного процесса заявок в ИПВ

, и в ее окрестности достаточно долго флуктуируют значения этого процесса. В

этом случае назовем сеть моностабильной.

Второе приближение

Пусть уравнение (4.10) имеет единственный корень

, то есть плотность распределения исследуемой сети сосредоточена около точки

. Найдем плотность распределения отклонения от этой точки. Для этого в системе

(4.1) сделаем замену переменных:

, ,

.

В новых обозначениях система (4.1) примет вид

(4.11)

Систему (4.11) будем решать в три этапа.

1 этап. Устремим к нулю и обозначим , тогда система (4.11) перейдет в систему

(4.12)

решение которой имеет вид

(4.13)

где ,

– плотность распределения нормированной величины

отклонения процесса

от значения – корня

уравнения (4.10).

Найдем вид функции .

2 этап. Неизвестные функции будем искать в форме

(4.14)

где

(4.15)

– асимптотическая вероятность того, что состояние обслуживающего канала равно .

В системе уравнений (4.11) все функции с аргументом

разложим в ряд по приращению аргумента

, ограничиваясь слагаемыми порядка

, получим

(4.16)

В полученных формулах заменяем

по формуле (4.14), при этом учитываем, что из системы (4.12) следуют равенства

(4.17)

Получим неоднородную линейную систему алгебраических уравнений относительно

неизвестных функций

(в предположении, что

известна) вида

(4.18)

Заметим, что ранг соответствующей однородной системы равен двум.

Следовательно, для того, чтобы решение системы (4.18) существовало,

необходимо, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы также равнялся двум,

т.е. чтобы выполнялось следующее равенство

(4.19)

откуда следует, что

(4.20)

Чтобы показать равенство (4.20) воспользуемся определением для

и свойствами констант

, получим

(4.21)

Если предположить, что функция известна, то решение системы (4.18) примет вид

(4.22)

3 этап. В системе (4.11) все функции с аргументом

разложим в ряд по приращению аргумента

, ограничиваясь слагаемыми порядка

, будем иметь

(4.23)

Сложив левые и правые части системы уравнений (4.23) получим

(4.24)

Чтобы сделать предельный переход в полученной формуле, нужно чтобы все слагаемые

имели порядок .

Заменим по формуле

(4.14), подставив вместо

их выражения, полученные на втором этапе. Для

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида

(4.25)

где

(4.26)

Решение уравнения (4.25) можно найти в виде

(4.27)

4.2. Численный метод анализа распределения вероятностей

В редких случаях удается получить численное решение системы конечно-разностных

уравнений для распределения случайного процесса

. В силу конечности числа АС это удается сделать.

Рассмотрим систему уравнений (4.1) и выпишем недостающие граничные условия для

, ,

.

1. Рассмотрим варианты того, как в момент времени можно оказаться в состоянии :

а) пусть в момент времени

система находится в состоянии

, то есть прибор обслуживает заявку и в ИПВ пусто. За время

с вероятностью

закончится обслуживание, и система окажется в состоянии

;

б) пусть в момент времени

система находится в состоянии

, то есть прибор простаивает и в ИПВ пусто, с вероятностью

за время не поступят

заявки, и состояние системы не изменится.

2. Рассмотрим варианты того, как в момент времени можно оказаться в состоянии :

а) пусть в момент времени

система находится в состоянии

, то есть прибор обслуживает заявку и в ИПВ одна заявка. За время

с вероятностью

закончится обслуживание, и система окажется в состоянии

;

б) пусть в момент времени

система находится в состоянии

, то есть прибор простаивает и в ИПВ одна заявка, с вероятностью

за время не поступят

заявки из внешнего источника и из ИПВ, и состояние системы не изменится.

3. Рассмотрим варианты того, как в момент времени можно оказаться в состоянии :

а) пусть в момент времени

система находится в состоянии

, то есть прибор оповещает о конфликте и в ИПВ N заявок. За время

с вероятностью этап

оповещения о конфликте завершится, и система перейдет в состояние

;

б) пусть в момент времени

система находится в состоянии

, то есть прибор простаивает и в ИПВ N заявок, с вероятностью

за время ни одна из

них не обратится к прибору и состояние системы не изменится;

Теперь можно записать конечно-разностные уравнения

(4.28)

,

которые в стационарном режиме принимают вид

,

, (4.29)

.

Таким образом, для исследуемой системы мы имеем уравнения, которые имеют вид

(4.30)

(4.31)

(4.32)

Кроме того, должно выполняться условие нормировки

(4.33)

Решение системы уравнений (4.30) – (4.32), удовлетворяющее условию нормировки

(4.33) можно записать следующим образом

(4.34)

4.3. Определение области применимости асимптотических формул по

результатам численного анализа

Таким образом, исходная система уравнений (4.1), описывающая состояние

исследуемой сети связи, была исследована численно и аналитически с

использованием асимптотического метода.

Численное решение дает точное решение системы, то есть позволяет точно

определить распределение вероятностей

исследуемой величины

. Для различных параметров системы

наблюдается качественное отличие результатов численного исследования исходной

системы. Объяснить это, используя только численный метод, очень сложно.

Сравнение результатов численного и аналитического исследования для небольших

N продемонстрировано на рис. 4.2 и рис. 4.3. С ростом N тенденция

поведения исследуемого процесса

предполагаемая аналитическим исследованием, прослеживается для численного

решения системы, то есть аналитические выкладки подтверждаются точным численным

решением системы (рис. 4.4, рис. 4.5, рис. 4.6). Доказательством неплохого

совпадения результатов исследований служат таблицы вероятностно-временных

характеристик системы.

Вероятностно-временные характеристики:

1. – среднее число требований в системе, определяется по формуле

(4.35)

или

, (4.36)

где – асимптотическое среднее величины .

Формула (4.35) используется при численном исследовании, при аналитическом

исследовании используется формула (4.36).

2. – среднее число

требований, обращающихся к прибору в единицу времени, где за единицу времени

выбрано среднее время обслуживания одного требования. Для определения

используется формула

, (4.37)

где определяется по

формуле (4.35) или (4.36) в зависимости от метода исследования.

3. – среднее число

попыток до успешной передачи сообщения, определятся по формуле

. (4.38)

4. – среднее время доставки сообщения, по теореме Литла определяется по формуле

. (4.39)

5. – производительность сети, определяется по формуле

. (4.40)

6. – вероятность

успешной передачи сообщения с нулевым временем ожидания, определяется по

формуле

(4.41)

Рис. 4.2: Рис. 4.3:

Таблица 1. Вероятностно-временные характеристики

Хар-ки
	Метод		Метод
	Точный	Асимптотический	Точный	Асимптотический
	5,76	6,85	19,07	20,23
	0,921	0,85	0,669	0,65
	3,339	4,145	3,673	3,99
	0,021	0,033	0,105	0,124
	0,276	0,205	0,182	0,163
	0,22	0,241	0,242	0,251

Рис. 4.4: Рис. 4.5:

Таблица 2. Вероятностно-временные характеристики

Хар-ки
	Метод		Метод
	Точный	Асимптотический	Точный	Асимптотический
	22,69	23,87	55,2	56,3
	0,608	0,6	0,703	0,7
	3,182	3,28	5,233	5,34
	0,119	0,13	0,411	0,43
	0,191	0,183	0,134	0,131
	0,3	0,304	0,186	0,187

Рис. 4.6:

Таблица 3. Вероятностно- временные характеристики для сети связи с параметрами

Хар-ки	Метод
	Точный	Асимптотический
	124,05	125,28
	0,603	0,6
	2,889	2,92
	0,594	0,61
	0,209	0,205
	0,341	0,342

Таким образом, используя полученную информацию об исследовании системы, мы

можем управлять ее функционированием, добиваясь нужных нам характеристик

путем изменения параметров, влияющих на состояние системы.

Численное исследование позволило установить следующее: в системе, построенной

на основе протокола с оповещением о конфликте для конечного числа АС можно

пренебречь различием предельной и допредельной моделей.

Заключение

В данной работе проведено исследование функционирования нестационарных сетей

связи случайного доступа с оповещением о конфликте для конечного и

бесконечного числа абонентских станций. Рассмотрен динамический и статический

протокол случайного множественного доступа.

В первом разделе проведено исследование нестационарной сети случайного

доступа с динамическим протоколом в условиях большой загрузки. Определена

точная верхняя граница загрузки сети, при которой существует стационарный

режим. Исследование показало, что плотность распределения нормированного

числа заявок в источнике повторных вызовов удовлетворяет уравнению Фоккера-

Планка с постоянными коэффициентами. Предложен метод его решения с помощью

преобразования Лапласа.

Во втором разделе проведено исследование неоднородной нестационарной сети

случайного доступа с динамическим протоколом в условиях перегрузки. В первом

приближении получено асимптотическое среднее, во втором распределение

отклонения в окрестности асимптотического среднего, которое удовлетворяет

уравнению Фоккера-Планка с нулевым коэффициентом переноса и является

нормальным.

В третьем разделе проведено исследование нестационарной сети случайного

доступа со статическим протоколом в условиях большой задержки. В первом

приближении получено асимптотическое среднее, во втором распределение

отклонения в окрестности асимптотического среднего, которое удовлетворяет

уравнению Фоккера-Планка и является нормальным. Рассмотрены точки покоя.

В четвертом разделе исследовано функционирование сети случайного

множественного доступа с динамическим протоколом для конечного числа

абонентских станций. В п. 4.1. изложены два этапа асимптотического анализа.

На первом этапе удалось определить асимптотическую «предельную» точку, в

окрестности которой «концентрируется» искомая плотность распределения

вероятности, а на втором этапе – нашли распределение отклонения в окрестности

«предельной» точки. На этом этапе получено асимптотически нормальное

распределение, что является аналогом известных в теории вероятностей законов

больших чисел и центральных предельных теорем. Особенностью рассматриваемой

СМО, является то, что алгебраические уравнения, описывающие ее

функционирование, имеют точное численное решение, которое изложено в п. 4.2.

Поэтому в п. 4.3. проводится аналогия между численным и асимптотическим

решением и определяется область применимости асимптотических формул.

Список использованной литературы

1. Радюк Л.Е., Терпугов А. Ф. Теория вероятностей и случайных

процессов – учебное пособие. Томск: Издательство Томского университета, 1988.

2. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового

обслуживания. М: Наука, 1987.

3. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. М: Мир, 1979.

4. Кениг Д., Штоян Д. Методы теории массового обслуживания. М:

Радио и связь, 1981.

5. Боровков А. А. Асимптотические методы в теории массового

обслуживания. М: Наука, 1980.

6. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные

уравнения. Киев: Наукова думка, 1968.

7. Назаров А. А. Асимптотический анализ марковизируемых систем.

Томск: Издательство Томского университета, 1991.

8. Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики.

М: Наука, 1969.

9. Саати Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и ее

приложения .М: Советское радио, 1971.

10. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. М: Наука, 1966.

11. Ги К. Введение в локальные вычислительные сети. М:

Радио и связь, 1986.

12. Бертсекас Д., Галлагер Р. Сети передачи данных. М: Мир, 1989.

13. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских

процессов и их приложения. М: Наука, 1969.

14. Шохор С. Л. Математические модели локальных

вычислительных сетей с динамическими протоколами случайного множественного

доступа и их исследование//Автореферат диссертации. Томск, 2001.

15. Одышев Ю. Д. Исследование сетей связи, управляемых

протоколом случайного множественного доступа «Адаптивная АЛОХА»//Автореферат

диссертации. Томск, 2001.

16. Туенбаева А. Н. Исследование математических

моделей сетей связи со статическими протоколами случайного множественного

доступа//Автореферат диссертации. Томск, 2001.