Диплом: Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрия
Омский Государственный Университет
Кафедра Математической Логики и Логического Программирования
Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики:
уравнения, тригонометрия, планиметрия.
дипломная работа
студентки гр.ММ-702
Соколовой Ю.С.
_________________
(подпись)
Научный руководитель
к.ф.-м.н.
Лопатков М.Г.
_________________
(подпись)
Омск – 2002
Содержание.
Введение.............................................3
1. Классификация ошибок с примерами.....................5
1.1. Классификация по типам задач......................5
1.2. Классификация по типам преобразований............10
2. Тесты..................................12
3. Протоколы решений.................................18
3.1. Протоколы неверных решений...........................18
3.2. Ответы (протоколы верных решений)..............34
3.3. Ошибки, допущенные в решениях..................51
Приложение.............................53
Литература............................56
ВВЕДЕНИЕ
“На ошибках учатся”, - гласит народная мудрость. Но для того, чтобы извлечь
урок из негативного опыта, в первую очередь, необходимо увидеть ошибку. К
сожалению, школьник зачастую не способен ее обнаружить при решении той или
иной задачи. Вследствие чего возникла идея провести исследование, цель
которого - выявить типичные ошибки, совершаемые учащимися, а также как можно
более полно классифицировать их.
В рамках этого исследования был рассмотрен и прорешен большой набор задач из
вариантов апрельского тестирования, тестов и письменных заданий вступительных
экзаменов в ОмГУ, различных пособий и сборников задач для поступающих в вузы,
внимательно изучены материалы заочной школы при НОФ ОмГУ. Полученные данные
подверглись подробному анализу, при этом большое внимание было уделено логике
решений. На основе этих данных были выделены наиболее часто допускаемые
ошибки, то есть типичные.
По результатам этого анализа была сделана попытка систематизировать
характерные ошибки и классифицировать их по типам преобразований и типам
задач, среди которых были рассмотрены следующие: квадратные неравенства,
системы неравенств, дробно-рациональные уравнения, уравнения с модулем,
иррациональные уравнения, системы уравнений, задачи на движение, задачи на
работу и производительность труда, тригонометрические уравнения, системы
тригонометрических уравнений, планиметрия.
Классификация сопровождается иллюстрацией в форме неверных протоколов
решений, что дает возможность помочь школьникам развить умение проверять и
контролировать себя, критически оценивать свою деятельность, находить ошибки
и пути их устранения.
Следующим этапом стала работа с тестами. Для каждой задачи были предложены
пять вариантов ответов, из которых один верный, а остальные четыре неверные,
но взяты не случайным образом, а соответствуют решению, в котором допущена
конкретная стандартная для задач данного типа ошибка. Это дает основание для
прогнозирования степени “грубости” ошибки и развития основных мыслительных
операций (анализ, синтез, сравнение, обобщение). Тесты имеют следующую
структуру:
| Тип задач | | Условие задачи | Варианты ответа | | Коды ошибок |
Коды ошибок делятся на три вида: ОК – верный ответ, цифровой код - ошибка из
классификации по типам задач, буквенный код – ошибка из классификации по
типам преобразований. Их расшифровку можно посмотреть в главе 1.
Классификация ошибок с примерами.
Далее были предложены задания найти ошибку в решении. Эти материалы были
использованы при работе со слушателями заочной школы при НОФ ОмГУ, а также на
курсах повышения квалификации учителей г.Омска и Омской области, проводимых
НОФ ОмГУ.
В перспективе на основе проделанной работы можно создать систему контроля и
оценки уровня знаний и умений тестируемого. Появляется возможность выявить
проблемные области в работе, зафиксировать удачные методы и приемы,
проанализировать, какое содержание обучения целесообразно расширить. Но для
наибольшей эффективности этих методов необходима заинтересованность
учащегося. С этой целью мной совместно с Чубрик А.В. и был разработан
небольшой программный продукт, генерирующий неверные решения линейных и
квадратных уравнений (теоретическая база и алгоритмы – я и Чуубрик А.В.,
помощь в реализации – студент гр. МП-803 Филимонов М.В.). Работа с данной
программой дает школьнику возможность выступить в роли учителя, учеником
которого является компьютер.
Полученные результаты могут послужить началом более серьезного исследования,
которое в ближайшей и отдаленной перспективе сможет внести необходимые
корректировки в систему обучения математике.
1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК С ПРИМЕРАМИ
1.1. Классификация по типам задач
1. Алгебраические уравнения и неравенства.
1.1. Квадратные неравенства. Системы неравенств:
1.1.1. Неправильно найдены корни квадратного трехчлена: неверно
использована теорема Виета и формула для нахождения корней;
 
1.1.2. Неправильно изображен график квадратного трехчлена;
1.1.3. Неправильно определены значения аргумента, при которых неравенство
выполняется;
 
1.1.4. Деление на выражение, содержащее неизвестную величину;
 
1.1.5. В системах неравенств неправильно взято пересечение решений всех
неравенств;
|  .
|
1.1.6. Неправильно включены или не включены концы интервалов в
окончательный ответ;
 
1.1.7. Округление.
1.2. Дробно-рациональные уравнения:
1.2.1. Неправильно указано или не указано ОДЗ: не учтено, что знаменатель
дроби не должен быть равен нулю;
 ОДЗ:  .
1.2.2. При получении ответа не учитывается ОДЗ;
 ОДЗ:  . Ответ: 
1.2.3. Нерациональность в приведении к общему знаменателю;
 
1.2.4. Неправильно найдены корни уравнения;
1.2.5. Неэквивалентная замена переменной;
Замена переменной:  .
1.2.6. Деление на выражение, содержащее неизвестную величину;
 
1.2.7. Не учтена кратность корня.
1.3. Уравнения с модулем:
1.3.1. При снятии знака модуля не учтено, при каких условиях был получен
соответствующий корень;
 Один из случаев:  . В этом случае получаем уравнение  . Решение:  .
1.3.2. Неправильно снят знак модуля: неверно использовано определение модуля;
 Один из случаев:  . Тогда уравнение примет вид:  .
1.3.3. Перечислены не все случаи, возникающие при снятии знака модуля с
выражений, стоящих в уравнении;
 Т.к. в уравнении 2 знака модуля возможно 2 случая:
 и  .
1.3.4. Деление на выражение, содержащее неизвестную величину.
Аналогично.
1.4. Иррациональные уравнения:
1.4.1. Неправильно указано или не указано ОДЗ: неучтено, что выражение под
знаком корня четной степени должно быть неотрицательным;
 ОДЗ:  .
1.4.2. При получении ответа не учитывается ОДЗ;
Аналогично.
1.4.3. Не учтено, что квадратный арифметический корень - неотрицательная
величина, что он определен только для неотрицательных чисел;
  .
1.4.4. При возведении уравнения в квадрат не учтены знаки обеих его частей;
   .
1.4.5. Неэквивалентная замена переменной;
Аналогично.
1.4.6. Деление на выражение, содержащее неизвестную величину.
Аналогично.
1.5. Системы уравнений:
1.5.1. Неправильно указано или не указано ОДЗ (см. конкретные уравнения);
1.5.2. При получении ответа не учитывается ОДЗ;
Аналогично.
1.5.3. Для каждого отдельного уравнения см. ошибки в предыдущих разделах;
1.5.4. Неправильно сформирован ответ.
Аналогично системам неравенств.
2. Текстовые задачи.
2.1. Задачи на движение:
2.1.1. Неправильно введены неизвестные величины: введены неизвестные
величины, с помощью которых невозможно или трудно получить ответ, или
несоответствующие смыслу задачи;
2.1.2. Составлено уравнение (неравенство), связывающее неизвестные величины
с заданными величинами, несоответствующее условиям задачи;
.первый из А в С прошел на 12 км меньше, чем второй из В в С.  
2.1.3. При решении полученных уравнений (неравенств) допущены ошибки,
рассмотренные в предыдущих разделах;
2.1.4. Отобранные решения не соответствуют смыслу задачи;
Ответ:  , где  - скорости.
2.1.5. Неправильно поняты термины “позже”, “раньше” и т.д.;
Т.к. первый вышел на 6 часов раньше, то:  .
2.1.6. Неправильно применены формулы средней скорости, пути и т.д.;
Находим время, затраченное пешеходами от начала движения до их встречи:  .
2.1.7. Выполнены преобразования с разными единицами измерения (км – м, ч –
сек и т.д.)
.известно, что стоимость 4.5 м черной ткани = общей стоимости 3 м зеленой и 50
см синей.  .
уравнение, связывающее эти стоимости: 
.
2.2. Задачи на работу и производительность труда:
2.2.1. Ошибки аналогичны допускаемым в задачах на движение.
3. Тригонометрия.
3.1. Тригонометрические уравнения:
3.1.1. Неправильно указано или не указано ОДЗ (аналогично алгебраическим
уравнениям);
3.1.2. При получении ответа не учитывается ОДЗ;
3.1.3. Неправильно применены формулы: в формулах приведения получили
неверный знак или функцию; в преобразовании суммы или разности в
произведение (или наоборот) перепутали sin и cos, или полу сумму аргументов с
полу разностью, или опустили множитель ½; в формулах сложения,
понижения степени аналогично;
  .
3.1.4. Неправильное преобразование сложной функции;
3.1.5. Использование неправильной области определения или свойств функции;
3.1.6. Допущены ошибки в преобразованиях, аналогичных алгебраическим
уравнениям.
3.2. Системы тригонометрических уравнений:
3.2.1. Те же ошибки, что и в предыдущем разделе, при решении каждого
уравнения;
3.2.2. Неправильный отбор корней: при получении ответа не учтено, что k и
n, пробегающие множество целых чисел, могут быть как различными, так и
одинаковыми;
  Ответ:  .
3.2.3. Те же ошибки, что и при решении систем алгебраических уравнений.
4. Планиметрия.
4.1. Неправильно сделан чертеж;
| Окружность на чертеже – это окружность, вписанная в сектор. |
4.2. Неправильно использованы формулы, теоремы или свойства фигур и тел;
.Радиус окружности можно найти с помощью теоремы синусов:  .
4.3. Не приведены величины к одной единице измерения;
Аналогично.
4.4. Ответ не соответствует смыслу задачи;
4.5. Могут быть допущены алгебраические ошибки.
1.2. Классификация по типам преобразований
A. Неправильно раскрыли скобки;
B. При переносе слагаемого в другую часть уравнения или неравенства не
сменили его знак на противоположный;
C. Неправильно привели подобные;
D. Перенос переместительного закона умножения / распределительного закона
умножения относительно сложения на другие действия и преобразования;
E. Ошибочное установление аналогии между объектами внешне сходными, но по
сути различными;
F. Неправильный порядок действий;
G. Перепутаны степень и коэффициент;
H. Неправильно перемножены многочлены и одночлены;
I. Неправильно поделены многочлены и одночлены;
J. Неправильное разложение на множители;
K. Неправильные тождественные преобразования иррациональных выражений;
L. Арифметическая ошибка.
2. ТЕСТЫ
Алгебраические уравнения | 1. Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения равна | 
| 
| 
| 0 | 
| | OK | 1.2.6. | 1.2.9. | L. | H. | 2. Сумма корней уравнения  равна | 6 | 12 | 5 | 
| 7 | | OK | 1.3.1. | 1.3.3. | 1.3.2. | 1.3.2 | 3. Среднее арифметическое всех действительных корней уравнения  равно | 2 | 1,5 | 3 | -3 | 4,5 | | OK | 1.2.6. | 1.2.7. | H. | L. | 4. Сумма корней уравнения  равна | 0 | -4 | -2 | -8 | 
| | OK | 1.2.6. | 1.2.7. | 1.2.4. | B. | 5. Сумма корней уравнения  равна | 2 | 4 | 
| 
| 3 | | OK | 1.3.1. | 1.3.2. | 1.1.1. | 1.3.3. | 6. Сумма кубов действительных корней уравнения  | -9 | 6 | 36 | 15 | -1701 | | OK | E. | 1.1.1. | E. | 1.2.5. | 7. Если  - корень уравнения  , то значение выражения  равно | 
| 
| 
| корней нет | 
| | OK | 1.4.1. | D. | H. | L. | 8. Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения  равна | 
| 
| 
| 
| 1 | | OK | 1.3.3. | L. | 1.3.1. | J. | 9. Произведение корней уравнения  равно | -4 | 
| 18 | 
| -1,5 | | OK | 1.1.1. | 1.4.3. | H. | 1.2.5. | 10. Среднее арифметическое всех действительных корней уравнения  равно | -0,5 | 0,5 | корней нет | 1 | 
| | OK | 1.1.1. | 1.2.3. | L. | 1.2.1. | Текстовые | | 1. Автобус из A в B ехал со скоростью 50 км в час, а обратно – со скоростью 30 км в час. Найти среднюю скорость движения автобуса. | 37,5 | 40 | 30 | 20 | 
| | OK | 2.1.6. | 2.1.6. | 2.1.6. | 2.1.6. | | 2. Два насоса, работая вместе, наполняют бак за 15 минут. В одиночку второй насос способен наполнить бак на 40 минут быстрее первого. За сколько минут первый насос наполняет бак в одиночку? | 60 | 20 | 27,5 | 12,5 | 35 | | OK | 2.1.5. | 2.1.2. | 2.1.6. | 2.1.2. | | 3. 2 кг яблок и 3 кг груш стоят вместе 180 рублей, а 4 кг яблок и 1 кг груш стоят 160 рублей. Сколько стоят 2 кг груш и 1 кг яблок? | 110 | 100 | 285 | 
| 299 | | OK | L. | 2.1.6. | 2.1.2. | 2.1.2. | Тригонометрия | 1. Результат вычисления выражения  равен | 2 | 1 | 0,5 | 0 | 
| | OK | 3.1.3. | 3.1.3. | 3.1.3. | 3.1.3. | 2. Результат вычисления выражения  равен
| 
| 
| 
| 
| 
| | OK | 3.1.3. | D. | 3.1.4. | 3.1.3. | 3. Результат вычисления выражения  равен | 0,1 | 
| 
| 
| 
| | OK | 3.1.3. | C. | A. | 3.1.4. | 4. Результат вычисления выражения  равен | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | 3.1.4. | 3.1.3. | 3.1.4. | 3.1.4., 3.1.5. | 5. Результат вычисления выражения  равен | 5 | 10 | 
| 
| 
| | OK | 3.1.3. | 3.1.3 | 3.1.3., 3.1.5 | 3.1.3., 3.1.4 | 6. Результат вычисления выражения  равен | 1 | 
| 
| 
| 
| | OK | 3.1.3. | 3.1.3. | 3.1.3. | L. | 7. Результат вычисления выражения  равен | 4 | 
| 
| 
| 
| | OK | 3.1.3. | L. | 3.1.3. | 3.1.5. | 8. Результат вычисления выражения  равен | 
| 
| -0,5 | 
| 
| | OK | 3.1.3. | 3.1.4. | 3.1.3. | 3.1.3. | 9. Если  , то значение выражения  равно | -1 | 1 | 0 | 0,5 | 
| | OK | 3.1.3. | 3.1.3. | 3.1.3. | 3.1.4. | 10. Если  , то значение выражения  равно | 0,3 | 0,52 | 
| 0,7 | 0,6 | | OK | 3.1.4. | L. | 3.1.3. | 3.1.3. | 11. Укажите в градусах сумму корней уравнения  , принадлежащих промежутку  | 
| 0 | 
| 
| 
| | OK | 3.1.3. | 3.1.3. | 1.1.1. | 1.1.1. | 12. Укажите в градусах сумму корней уравнения  , принадлежащих промежутку  | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | 3.1.5. | L. | 3.1.3., 3.1.4. | L. | 13. Укажите количество корней уравнения  , принадлежащих промежутку  | 4 | 2 | 1 | 
| 3 | | OK | 3.1.3. | 3.1.5. | 3.1.4. | 3.1.4. | 14. Укажите количество корней уравнения  , принадлежащих промежутку  | 2 | 1 | 3 | 4 | 0 | | OK | 3.1.5. | 3.1.3. | 3.1.3. | 3.1.4. | Укажите количество корней уравнения  , принадлежащих промежутку  | 3 | 2 | 0 | 4 | 1 | | OK | 3.1.5. | B., 1.3.4. | 1.3.4. | 1.3.4. | 16. Укажите в градусах сумму корней уравнения  , принадлежащих промежутку  | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | 3.1.5. | L. | 3.1.5. | 3.1.5., 3.1.3. | 17. Чему равно  , если  ,  ,  ,  ? | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | 3.1.3. | 3.1.5. | 3.1.3. | L. | 18.  равно | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | 3.1.3. | 3.1.3. | 3.1.4. | 3.1.3. | 19.  равно | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | 3.1.3. | 3.1.3. | 3.1.4. | 3.1.3. | Планиметрия | 1. Если в треугольнике  заданы  ,  ,  , то синус угла  равен | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | 4.2. | 4.2. | 4.4. | L. | | 2. Если длины диагоналей ромба относятся как 1:2, а площадь ромба равна 12, то длина стороны ромба равна | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | 4.2. | D. | L. | L. | 3. Если в окружность вписан правильный треугольник, площадь которого равна  , и в треугольник вписана окружность, то площадь кольца равна | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | 4.2. | 4.2. | 4.2. | L. | 4. Если в треугольнике  угол при вершине  равен  ,  , высота , то площадь треугольника  равна | 8 | 4 | 32 | 16 | 3 | | OK | 4.1. | 4.2. | L. | L. | 5. Если в треугольнике  заданы  ,  ,  , то синус угла  равен | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | 3.1.5. | 3.1.3. | D. | 4.2. | 6. Если в треугольнике  заданы  ,  ,  , то длина стороны  равна | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | 4.2. | L. | 4.2. | L. | 7. Если в окружности радиуса  проведена хорда, которая стягивает дугу в  , то расстояние от центра окружности до данной хорды равно | 13,5 | 
| 13,005 | 
| 4,5 | | OK | 4.2. | 1.1.7. | L. | L. | 8. Если одна из диагоналей параллелограмма, длина которой равна  , составляет с основанием угол  , а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол  , то длина второй диагонали равна | 12 | 8 | 18 | 
| 16 | | OK | 4.2. | L. | L. | L. | 9. Если в круге, площадь которого равна  , проведена хорда длиной 3, то расстояние от центра круга до хорды равно | 2 | 6,067 | 2,9 | 1 | 
| | OK | 4.2., 1.1.7. | 4.2., 1.1.7. | D. | L. | | 10. Если в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна 20, а радиус вписанной окружности – 4, то сумма длин катетов треугольника равна | 28 | 20 | 24 | 36 | 26 | | OK | D. | L. | 4.2. | L. | 11. Если площадь ромба равна 18, а острый угол  , то длина стороны ромба равна | 6 | 
| 3 | 
| 
| | OK | 4.2. | 4.2. | 3.1.5., L. | 3.1.5. | 12. В прямоугольном треугольнике  с катетом  и медианой  , проведенной к гипотенузе , расстояние между точкой  и основанием  высоты  равно | 3,5 | 24,5 | 
| 
| 4,5 | | OK | L. | 4.2. | L. | L. | | 13. Отрезок длины 5, соединяющий боковые стороны равнобокой трапеции и параллельный ее основаниям, равным 2 и 7, делит площадь трапеции в отношении | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | 4.2. | 4.2. | 4.2. | L. | 14. В круг радиуса 10 вписан равнобедренный треугольник с углом в  . Найти его периметр. | 
| 
| 
| 30 | 
| | OK | 4.2. | 4.2. | 3.1.5. | L. | 15.  и  – центры кругов радиуса 6,  . Тогда площадь общей части этих кругов равна | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | 3.1.4. | 4.2. | 4.2. | A. | | 16. Если в равнобокой трапеции высота равна 14, основания равны 12 и 16, то площадь круга, описанного около трапеции, равна | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | 4.2. | 4.2. | 4.2. | L. | Алгебраические преобразования | 1. Результат упрощения выражения  имеет вид | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | J. | E. | D. | J. | 2. Результат упрощения выражения имеет вид | 
| 0 | 
| 
| 
| | OK | D. | A., D. | D. | H. | 3. Результат сокращения дроби  имеет вид | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | I. | I. | 1.1.1. | 1.1.1. | 4. Результат упрощения выражения  имеет вид | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | E. | D., L. | E. | E. | 5. Результат упрощения выражения  имеет вид | 1 | 
| 
| 
| 
| | OK | E. | E. | I. | K. | 6. Результат упрощения выражения  имеет вид | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | J. | I. | I., L. | I. | 7. Результат упрощения выражения  имеет вид | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | K. | I. | I., C. | L. | 8. Результат упрощения выражения  имеет вид | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | I., H. | D. | E. | A. | 9. Результат вычисления  имеет вид | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | K., I. | K., D. | K., I. | I., K. | 10. Результат упрощения выражения  имеет вид | 
| 
| 
| 
| 
| | OK | J. | I. | I. | E. | | | | | | | | | | | | | |
3. ПРОТОКОЛЫ РЕШЕНИЙ
3.1. Протоколы неверных решений
Задача 1.
Решить неравенство:  .
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения  по теореме Виета:
 График функции  - это парабола, ветви которой направлены вниз:
| Нужно отметить те значения x, при которых график находится выше оси Ox. Следовательно, получаем ответ:  |
Задача 2.
Решить неравенство:  .
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения  по теореме Виета:
 График функции  - это парабола.
| Выберем те значения x, при которых график находится выше оси Ox. Следовательно, получаем ответ:  |
Задача 3.
Решить неравенство: 
Решение:
Упростим выражение, сократив на x. Получим неравенство: 
Следовательно, ответ: 
Задача 4.
Решить неравенство: 
Решение:
Корни уравнения  : 
График функции  -
это парабола, ветви которой направлены вверх.
| Выберем те значения x, при которых график находится выше оси Ox. Следовательно, получаем ответ:  |
Задача 5.
Решить неравенство: 
Решение:
Домножим неравенство на –1, получим: 
Выделим полный квадрат: 
В левой части неравенства стоит неотрицательное число, а значит неравенство
верно при любых значениях x, кроме случая равенства, т.е. 
Запишем окончательный ответ: 
Задача 6.
Решить систему неравенств: 
Решение:
Решаем каждое из неравенств системы в отдельности:
1. 
2. 
3. 
Ответ:  .
Задача 7.
Решить уравнение: 
Решение:
Приведем дроби к общему знаменателю и отбросим знаменатель:
Ответ: x = 1.
Задача 8.
Решить уравнение: 
Решение:
ОДЗ:  , т.к. знаменатель не должен обращаться в ноль.
Приведем все дроби к общему знаменателю:
Приведем подобные и отбросим знаменатель:
Получили  , но эти корни не входят в ОДЗ, поэтому ответ: решений нет.
Задача 9.
Решить уравнение:  .
Решение:
Рассмотрим 4 возможных случая:
1.  .
В
этом случае получаем уравнение 
. Это значение удовлетворяет уравнению, поэтому является корнем данного
уравнения.
2.  .
В
этом случае получаем уравнение 
. Решение:  .
3.  .
В
этом случае получаем уравнение 
. Решений нет.
4.  .
Получаем
уравнение  - не
удовлетворяет уравнению.
Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ:  .
Задача 10.
Решить уравнение:  .
Решение:
Т.к. в уравнении 2 знака модуля, возможны 2 случая:
1.  .
В
этом случае получаем уравнение 
. Это значение удовлетворяет уравнению, поэтому является корнем данного
уравнения.
2.  - этот случай невозможен.
Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ:  .
Задача 11.
Решить уравнение:  .
Решение:
Возможны 2 случая:
1.  . Тогда уравнение примет вид:  - корень исходного уравнения.
2.  . Тогда уравнение примет вид:  - корень исходного уравнения.
Ответ:  .
Задача 12.
Решить уравнение:  .
Решение:
ОДЗ:  .
Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим в
правую:  
. Затем возводим в квадрат: 
, причем т.к.  , то
для корректности возведения в квадрат необходимо, чтобы 
. Получим уравнение 
. Найдем его корни: 
. Оба корня удовлетворяют ОДЗ, но только один 
удовлетворяет дополнительному ограничению 
. Поэтому ответ:  .
Задача 13.
Решить уравнение:  .
Решение:
ОДЗ:  .
Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим в
правую:  
. Затем возводим в квадрат: 
. Получим уравнение 
. Его корни:  . Оба
корня удовлетворяют ОДЗ. Поэтому ответ: 
.
Задача 14.
Решить уравнение:  .
Решение:
ОДЗ:  .
Выделим полный квадрат под первым знаком корня:  .
Получим уравнение: 
. Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим
в правую и умножим уравнение на -1:  
. Возведем обе части уравнения в квадрат с учетом 
, получим  . Найдем
корни:  . Учитывая
ОДЗ и дополнительное ограничение 
, получаем ответ:  .
Задача 15.
Решить систему уравнений:  .
Решение:
ОДЗ:  .
Из второго уравнения находим  и подставляем в первое:  .
Делаем замену переменной: 
. Получаем квадратное уравнение относительно t: 
. Получим корни:  .
Имеем 2 случая:
1.  - это невозможно, т.к.  - неотрицательная величина.
2.  . Отсюда  .
Ответ: (1; 9).
Задача 16.
Решить задачу: Два туриста идут навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый
выходит из А на 6 часов раньше, чем второй из В, и при встрече в пункте С
оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи
путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов после встречи, а
второй в А – через 9 часов. Определить расстояние АВ и скорость обоих
пешеходов.
Решение:
Пусть  (км/ч) –
скорости первого и второго пешеходов, S(км)=АВ. Изобразим на чертеже движение
пешеходов.
| Т.к. участок ВС первый прошел за 8 часов, то  . Второй прошел расстояние СА за 9 часов, поэтому  . |
Из условия задачи имеем:  .
Выразим теперь время, затраченное пешеходами от начала движения до их встречи:  .
Т.к. первый вышел на 6 часов раньше, то:  .
Сделаем замену:  и
решим уравнение:  .
Это уравнение корней не имеет. Следовательно, ответ: такая ситуация невозможна.
Задача 17.
Решить задачу: Два туриста идут навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый
выходит из А на 6 часов раньше, чем второй из В, и при встрече в пункте С
оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи
путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов после встречи, а
второй в А – через 9 часов. Определить расстояние АВ и скорость обоих
пешеходов.
Решение:
Пусть  (км/ч) – скорости первого и второго пешеходов, S(км)=АВ.
| Т.к. участок ВС первый прошел за 8 часов, то  . Второй прошел расстояние СА за 9 часов, поэтому  . |
Т.к. первый до встречи в С со вторым прошел на 12 км меньше, то 
. Выразим теперь время, затраченное пешеходами от начала движения до их встречи: 
.
Т.к. первый вышел на 6 часов раньше, то:  .
Сделаем замену:  и решим уравнение:  . Его корни:  .
Получили 2 случая:
1.  .
2.  .
Значит,
1.  ;
2.  .
Т.к. расстояние не может быть отрицательным, то подходит только второй случай.
Ответ:  .
Задача 18.
Решить задачу: Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за 12
часов. Одна первая труба наполняет бассейн на 10 часов медленнее, чем одна
вторая. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Решение:
Положим объем бассейна = 1. Пусть 
(ч) – время наполнения бассейна одной второй трубой. Тогда одна первая труба
наполнит бассейн за 
часов. Находим производительность этих труб: 
. За 12 часов совместной работы с общей производительностью 
заполняется весь бассейн: 
. Решаем полученное уравнение: 
.
Ответ:  .
Задача 19.
Решить задачу: В ателье поступило по одному куску черной, зеленой и синей
ткани. Хотя зеленой ткани было на 9 м меньше, чем черной, и на 6 м больше,
чем синей, стоимость кусков была одинаковой. Сколько метров ткани было в
каждом куске, если известно, что стоимость 4.5 м черной ткани = общей
стоимости 3 м зеленой и 50 см синей?
Решение:
Пусть  -количество черной, зеленой и синей ткани соответственно.
Известно:  .
Используем формулу: ,
где  - цена ткани,
S – стоимость куска, q – количество ткани.
Пусть S = 1. Получим 
- цены тканей. Составим уравнение, связывающее эти стоимости: 
.
Выразим  и  через  :  .
Подставляем в последнее уравнение:  .
 . Получили .
Ответ:   .
Задача 20.
Решить уравнение:  .
Решение:
По формулам приведения приведем все функции к одному аргументу: 
. Получили уравнение: 
. По формулам сокращенного умножения разложим на множители: 
. По основному тригонометрическому тождеству 
, поэтому остается решить уравнение: 
.
Рассмотрим 2 случая:
1.  .
Разделим на , причем 
. Тогда имеем уравнение: tg x = 1. Следовательно, 
.
2.  .
Разделим на , причем 
. Тогда имеем уравнение: tg x = -1. Следовательно, 
.
Получили ответ:  .
Задача 21.
Решить задачу: В окружности проведены 3 хорды: МА = 6 см, МВ = 4 см, МС = 1
см. Хорда МВ делит вписанный угол АМС пополам. Найти радиус этой окружности.
Решение:
Отрезки  и 
равны как хорды, стягивающие равные дуги, поэтому вычтем из первого уравнения
второе и получим: 
. Значит,  .
Треугольник  вписан
в окружность, следовательно, радиус данной окружности можно найти с помощью
теоремы синусов:  .
Ответ:  .
Задача 22.
Решить задачу: В сектор радиуса 
с центральным углом 
вписан круг. Найти его радиус.
Решение:
Треугольник ABC – равнобедренный, т.к. AB=AC=R. Найдем BC
по теореме косинусов: 
.  , т.к. АК
– высота треуг-ка АВС, следовательно, 
. Из прямоугольного треуг-ка АВК: 
.  , где ОН=r
. Из прямоугольного треуг-ка АОН: 
, значит, ответ:  .
Задача 23.
Решить уравнение:  .
Решение:
ОДЗ: .
Применяя формулы понижения степени, приведем это уравнение к более простому
виду:
,  ,
 .
Отсюда, используя формулу преобразования суммы косинусов в произведение,
получаем:  ,
 ,
 .
Рассмотрим 2 случая:
1.  ;
2.  ,
следовательно, используя вновь формулу преобразования суммы косинусов в
произведение, имеем:
a)  ;
b)  .
Таким образом, учитывая ОДЗ, получаем
Ответ:  .
Задача 24.
Решить уравнение:  .
Решение:
ОДЗ:  .
Введем новую переменную, положив t = tg x. Так как 
, то уравнение примет вид:
или  . Число 2
является корнем полученного уравнения, поэтому это уравнение можно
преобразовать следующим образом: 
. Сократим на (t-2). Квадратный трехчлен во второй скобке не имеет
действительных корней. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: решений нет.
Задача 25.
Решить уравнение:  .
Решение:
Преобразуем уравнение следующим образом:
 .
Рассмотрим 2 случая:
1.  ;
2.  ;
Ответ:  .
Задача 26.
Решить систему: 
Решение:
Каждое из уравнений этой системы является простейшим, поэтому нетрудно
заметить, что
Решая последнюю систему, получаем
Ответ:  .
Задача 27.
Решить задачу: Основания трапеции 5 дм и 40 см. Найти длину отрезка,
соединяющего середины диагоналей.
Решение:
| Пусть ABCD – трапеция, точка Р – середина диагонали АС, точка К – середина диагонали BD. |
Нетрудно заметить, что точки Р и К лежат на средней линии EF
трапеции. Так как ЕК – средняя линия треугольника ABD, то 
. Аналогично,  ,
поскольку является средней линией треугольника АВС. Следовательно, 
.
Ответ: 17.5 см.
Задача 28.
Решить задачу: Даны 2 стороны треугольника a, b и медиана 
, проведенная к стороне c. Найти сторону с.
Решение:
| Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСК. При этом  . По свойству параллелограмма сумма его диагоналей равна сумме его сторон. Поэтому из равенства  получаем |
Ответ:  .
Задача 29.
Решить задачу: Даны 2 стороны треугольника a, b и медиана 
, проведенная к стороне c. Найти сторону с.
Решение:
Воспользуемся формулой
.
Ответ:  .
Задача 30.
Решить задачу: Несколько рабочих выполняют работу за 14 дней. Если бы их
было на 4 человека больше и каждый работал в день на 1 час больше, то та же
работа была бы сделана за 10 дней. Если бы их было еще на 6 человек больше и
каждый работал бы еще на 1 час в день больше, то эта работа была бы сделана
за 7 дней. Сколько было рабочих, и сколько часов в день они работали?
Решение:
Пусть w - число рабочих, х – число часов их работы в день.
Пусть вся работа равна единице, а у – производительность (в час)
каждого рабочего.
Тогда один рабочий за х часов (т.е. в день) выполняет ху единиц
работы, а w рабочих за 14 дней выполнят 14wxy единиц работы.
Согласно условию 14wxy = 1.
Аналогично, если рабочих стало w + 4, и они работают каждый день х + 1 час, то
10(w + 4)(x + 1)y = 1.
Для случая, когда рабочих еще на 6 человек больше (т.е. w + 6), и они
работают еще на час дольше (т.е. х + 1 часа) каждый день, получаем
уравнение 7(w + 6)(x + 1)y = 1.
Из системы
надо найти w, x.
Приравняв левые части первого и второго, а также первого и третьего уравнений
и упростив, получим систему
Отсюда легко получается, что 
. Следовательно, второе значение х не подходит. Поэтому получили
Ответ: всего было 54 рабочих; они работали 1,25 часов в день.
3.2. Ответы (протоколы верных решений)
Задача 1.
Решить неравенство:  .
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения  по теореме Виета:
 График функции  - это парабола, ветви которой направлены вниз:
| Нужно отметить те значения x, при которых график находится выше оси Ox. Следовательно, получаем ответ:  |
Задача 2.
Решить неравенство:  .
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения  по теореме Виета:
 График функции  - это парабола, ветви которой направлены вниз:
| Нужно отметить те значения x, при которых график находится выше оси Ox. Следовательно, получаем ответ:  |
Задача 3.
Решить неравенство: 
Решение:
Корни уравнения  : 
График функции  -
это парабола, ветви которой направлены вверх.
| Выберем те значения x, при которых график находится выше оси Ox. Следовательно, получаем ответ:  |
Задача 4.
Решить неравенство: 
Решение:
Корни уравнения  : 
График функции  -
это парабола, ветви которой направлены вверх.
| Выберем те значения x, при которых график находится выше оси Ox. Следовательно, получаем ответ:  |
Задача 5.
Решить неравенство: 
Решение:
Домножим неравенство на –1, получим: 
Выделим полный квадрат: 
В левой части неравенства стоит неотрицательное число, а значит неравенство
неверно при любых значениях x, т.е. не имеет решений.
Запишем окончательный ответ: решений нет.
Задача 6.
Решить систему неравенств: 
Решение:
Решаем каждое из неравенств системы в отдельности:
1. 
2. 
3. 
Для того, чтобы получить решение системы, возьмем пересечение всех полученных
интервалов.
Ответ:  .
Задача 7.
Решить уравнение: 
Решение:
ОДЗ:  .
Приведем дроби к общему знаменателю и отбросим знаменатель:
Но x=1 не входит в ОДЗ, поэтому ответ: решений нет.
Задача 8.
Решить уравнение: 
Решение:
ОДЗ:  , т.к. знаменатель не должен обращаться в ноль.
Приведем дроби к общему знаменателю и отбросим знаменатель:
Но x=1 не входит в ОДЗ, поэтому ответ: решений нет.
Задача 9.
Решить уравнение:  .
Решение:
Рассмотрим 4 возможных случая:
1.  .
В
этом случае получаем уравнение 
. Это значение удовлетворяет уравнению, поэтому является корнем данного
уравнения.
2.  .
В
этом случае получаем уравнение 
. Решение:  .
3.  .
В
этом случае получаем уравнение 
. Решений нет.
4.  - этот случай не возможен.
Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ:  .
Задача 10.
Решить уравнение:  .
Решение:
Рассмотрим 4 возможных случая:
1.  .
В
этом случае получаем уравнение 
. Это значение удовлетворяет уравнению, поэтому является корнем данного
уравнения.
2.  .
В
этом случае получаем уравнение 
. Решение:  .
3.  .
В
этом случае получаем уравнение 
. Решений нет.
4.  - этот случай не возможен.
Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ:  .
Задача 11.
Решить уравнение:  .
Решение:
Возможны 2 случая:
1.  . Тогда уравнение примет вид:  - корень исходного уравнения.
2.  . Тогда уравнение примет вид:  - корень исходного уравнения.
Ответ:  .
Задача 12.
Решить уравнение:  .
Решение:
ОДЗ:  .
Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим в
правую:  
. Затем возводим в квадрат: 
, причем т.к.  , то
для корректности возведения в квадрат необходимо, чтобы 
. Получим уравнение 
. Найдем его корни:
 . Оба корня
удовлетворяют ОДЗ, но только один 
удовлетворяет дополнительному ограничению 
. Поэтому ответ:  .
Задача 13.
Решить уравнение:  .
Решение:
ОДЗ:  .
Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим в
правую:  
. Затем возводим в квадрат: 
, причем т.к.  , то
для корректности возведения в квадрат необходимо, чтобы 
. Получим уравнение 
. Найдем его корни: 
. Оба корня удовлетворяют ОДЗ, но только один 
удовлетворяет дополнительному ограничению 
. Поэтому ответ:  .
Задача 14.
Решить уравнение:  .
Решение:
ОДЗ:  .
Выделим полный квадрат под первым знаком корня:  .
Получим уравнение:  .
Рассмотрим 2 случая:
1.  .
Получим  . Возведем
обе части уравнения в квадрат с учетом 
, получим  . Найдем
корни:  . Учитывая
ОДЗ и дополнительное ограничение 
, получаем корень: 
.
2. x<3. Получим 
. Возведем обе части уравнения в квадрат с учетом 
, получим  . Найдем
корни:  . Учитывая
ОДЗ и дополнительное ограничение 
, получаем корень:  .
Учитывая ОДЗ, получаем ответ:  .
Задача 15.
Решить систему уравнений:  .
Решение:
ОДЗ:  .
Из второго уравнения находим  и подставляем в первое:  .
Делаем замену переменной: 
. Получаем квадратное уравнение относительно t: 
. Получим корни:  .
Но согласно замене 
не подходит.
Поэтому  . Отсюда  .
Ответ: (1; 9).
Задача 16.
Решить задачу: Два туриста идут навстречу друг другу из пунктов А и В. первый
выходит из А на 6 часов позже, чем второй из В, и при встрече в пункте С
оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи
путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов после встречи, а
второй в А – через 9 часов. Определить расстояние АВ и скорость обоих
пешеходов.
Решение:
Пусть  (км/ч) –
скорости первого и второго пешеходов, S(км)=АВ. Изобразим на чертеже движение
пешеходов.
| Т.к. участок ВС первый прошел за 8 часов, то  . Второй прошел расстояние СА за 9 часов, поэтому  . |
Из условия задачи имеем:  .
Выразим теперь время, затраченное пешеходами от начала движения до их встречи:  .
Т.к. первый вышел на 6 часов раньше, то:  .
Сделаем замену:  и
решим уравнение:  .
Но a – это отношение скоростей, а значит больше нуля. Получили систему:
 . Значит,  .
Ответ:  .
Задача 17.
Решить задачу: Два туриста идут навстречу друг другу из пунктов А и В. первый
выходит из А на 6 часов позже, чем второй из В, и при встрече в пункте С
оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи
путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов после встречи, а
второй в А – через 9 часов. Определить расстояние АВ и скорость обоих
пешеходов.
Решение:
Пусть  (км/ч) –
скорости первого и второго пешеходов, S(км)=АВ. Изобразим на чертеже движение
пешеходов.
| Т.к. участок ВС первый прошел за 8 часов, то  . Второй прошел расстояние СА за 9 часов, поэтому  . |
Из условия задачи имеем:  .
Выразим теперь время, затраченное пешеходами от начала движения до их встречи:  .
Т.к. первый вышел на 6 часов раньше, то:  .
Сделаем замену:  и
решим уравнение:  .
Но a – это отношение скоростей, а значит больше нуля. Получили систему:
 . Значит,  .
Ответ:  .
Задача 18.
Решить задачу: Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за 12
часов. Одна первая труба наполняет бассейн на 10 часов медленнее, чем одна
вторая. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Решение:
Положим объем бассейна = 1. Пусть 
(ч) – время наполнения бассейна одной второй трубой. Тогда одна первая труба
наполнит бассейн за 
часов. Находим производительность этих труб: 
. За 12 часов совместной работы с общей производительностью 
заполняется весь бассейн: 
. Решаем полученное уравнение: 
.
Ответ:  .
Задача 19.
Решить задачу: В ателье поступило по одному куску черной, зеленой и синей
ткани. Хотя зеленой ткани было на 9 м меньше, чем черной, и на 6 м больше,
чем синей, стоимость кусков была одинаковой. Сколько метров ткани было в
каждом куске, если известно, что стоимость 4.5 м черной ткани = общей
стоимости 3 м зеленой и 50 см синей?
Решение:
Пусть  -количество черной, зеленой и синей ткани соответственно.
Известно:  .
Используем формулу: ,
где  - цена ткани,
S – стоимость куска, q – количество ткани.
Пусть S = 1. Получим 
- цены тканей. Составим уравнение, связывающее эти стоимости: 
.
Выразим  и  через  :  .
Подставляем в последнее уравнение:  , причем  .
 . Получили
1.  .
2.  - невозможно.
Ответ: 45м, 36м, 30м.
Задача 20.
Решить уравнение:  .
Решение:
По формулам приведения приведем все функции к одному аргументу: 
. По формулам сокращенного умножения разложим на множители:
. По основному тригонометрическому тождеству  , поэтому остается уравнение:
.
Рассмотрим 3 случая:
1.  .
Разделим на , причем 
. Тогда имеем уравнение: tg x = - 1. Следовательно, 
.
2.  , cos x = -1. Следовательно,  .
3.  .
Получили ответ:  .
Задача 21.
Решить задачу: В окружности проведены 3 хорды: МА = 6 см, МВ = 4 см, МС = 1
см. Хорда МВ делит вписанный угол АМС пополам. Найти радиус этой окружности.
Решение:
Отрезки  и 
равны как хорды, стягивающие равные дуги, поэтому вычтем из первого уравнения
второе и получим: 
. Значит,  .
Треугольник  вписан
в окружность, следовательно, радиус данной окружности можно найти с помощью
теоремы синусов:  .
Ответ:  .
Задача 22.
Решить задачу: В сектор радиуса 
с центральным углом 
вписан круг. Найти его радиус.
Решение:
Т.к. центры окружностей и точки касания лежат на одной прямой, то
. Рассмотрим треугольник АОН (он прямоугольный, т.к. угол 
): угол  из
равенства треуг-ков АОН и АОМ (т.к. ОН=ОМ=r, АН=АМ как
отрезки касательных, проведенных из одной точки, сторона АО - общая). 
Ответ:  .
Задача 23.
Решить уравнение:  .
Решение:
ОДЗ: .
Применяя формулы понижения степени, приведем это уравнение к более простому
виду:
,  ,
 .
Отсюда, используя формулу преобразования суммы косинусов в произведение,
получаем:  ,
 ,
 .
Рассмотрим 2 случая:
1.  ;
2.  ,
следовательно, используя вновь формулу преобразования суммы косинусов в
произведение, имеем:
a)  ;
b)  .
Таким образом, учитывая ОДЗ, получаем
Ответ:  .
Задача 24.
Решить уравнение:  .
Решение:
ОДЗ:  .
Введем новую переменную, положив t = tg x. Так как 
, то уравнение примет вид:
или  . Число 2
является корнем полученного уравнения, поэтому это уравнение можно
преобразовать следующим образом: 
. Квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней.
Следовательно, уравнение имеет только один корень. Найдем корни исходного
уравнения:
 .
Дополнительный случай рассматривать не надо, так как  .
Ответ:  .
Задача 25.
Решить уравнение:  .
Решение:
ОДЗ:  , т.е.  .
Преобразуем уравнение следующим образом:
 .
Рассмотрим 2 случая:
1.  ; в этом
случае исходное уравнение решений не имеет, т.к. данные значения не входят в
ОДЗ;
2.  ; эти значения входят в ОДЗ уравнения.
Ответ:  .
Задача 26.
Решить систему: 
Решение:
Каждое из уравнений этой системы является простейшим, поэтому нетрудно
заметить, что
Решая последнюю систему, получаем
Ответ:  .
Задача 27.
Решить задачу: Основания трапеции 5 дм и 40 см. Найти длину отрезка,
соединяющего середины диагоналей.
Решение:
| Пусть ABCD – трапеция, точка Р – середина диагонали АС, точка К – середина диагонали BD. |
Нетрудно заметить, что точки Р и К лежат на средней линии EF
трапеции. Так как ЕК – средняя линия треугольника ABD, то 
. Аналогично,  ,
поскольку является средней линией треугольника АВС. Следовательно, 
.
Ответ: 5 см.
Задача 28.
Решить задачу: Даны 2 стороны треугольника a, b и медиана 
, проведенная к стороне c. Найти сторону с.
Решение:
| Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСК. При этом  . По свойству параллелограмма сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов его сторон. Поэтому из равенства  получаем |
Ответ:  .
Задача 29.
Решить задачу: Даны 2 стороны треугольника a, b и медиана 
, проведенная к стороне c. Найти сторону с.
Решение:
| Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСК. При этом  . По свойству параллелограмма сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов его сторон. Поэтому из равенства  получаем |
Ответ:  .
Задача 30.
Решить задачу: Несколько рабочих выполняют работу за 14 дней. Если бы их
было на 4 человека больше и каждый работал в день на 1 час больше, то та же
работа была бы сделана за 10 дней. Если бы их было еще на 6 человек больше и
каждый работал бы еще на 1 час в день больше, то эта работа была бы сделана
за 7 дней. Сколько было рабочих, и сколько часов в день они работали?
Решение:
Пусть w - число рабочих, х – число часов их работы в день.
Пусть вся работа равна единице, а у – производительность (в час)
каждого рабочего.
Тогда один рабочий за х часов (т.е. в день) выполняет ху единиц
работы, а w рабочих за 14 дней выполнят 14wxy единиц работы.
Согласно условию 14wxy = 1.
Аналогично, если рабочих стало w + 4, и они работают каждый день х + 1 час, то
10(w + 4)(x + 1)y = 1.
Для случая, когда рабочих еще на 6 человек больше (т.е. w + 10), и они
работают еще на час дольше (т.е. х + 2 часа) каждый день, получаем
уравнение 7(w + 10)(x + 2)y = 1.
Из системы
надо найти w, x.
Приравняв правые части первого и второго, а также первого и третьего
уравнений и упростив, получим систему
Если вычесть из второго уравнения удвоенное первое, то х исчезнет, и
найдем, что w = 20. Отсюда легко получается, что х = 6.
Ответ: всего было 20 рабочих; они работали 6 часов в день.
3.3. Ошибки, допущенные в задачах
1. Теорема Виета применена неверно: коэффициенты p и q взяты для
неприведенного уравнения и с противоположными знаками.
2. Неправильно построен график.
3. Потеря корней путем сокращения.
4. Концы интервалов включены в ответ, хотя они не удовлетворяют данному
неравенству.
5. Не сменили знак неравенства при умножении обеих его частей на
отрицательное число.
6. Для получения решения системы неравенств взято не пересечение, а
объединение решений каждого отдельного неравенства.
7. Не указано ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.
8. Нерациональность в приведении к общему знаменателю.
9. Нигде не учтены условия, при которых были сняты знаки модуля.
10. Рассмотрены не все случаи, возникающие при снятии знаков модуля.
11. Во втором случае неправильно снят знак модуля.
12. Не указано ОДЗ: арифметический квадратный корень определен только для
неотрицательных чисел.
13. При возведении в квадрат обеих частей уравнения не учтены их знаки.
14. Не учтено, что корень из квадрата числа равен модулю этого числа.
15. Сделана неэквивалентная замена переменной.
16. Неправильно понят смысл слова “раньше”.
17.
17.1. Неправильно составлено уравнение, связывающее величины АС и ВС;
17.2. Не учтено, что скорость не может быть отрицательной.
18. Неправильно применена формула производительности через объем работы и время.
19. Выполнены преобразования с величинами в разных единицах измерения.
20. Неправильно применены формулы приведения.
21.
21.1. Неправильно применена теорема косинусов;
21.2. Неправильно применено основное тригонометрическое тождество;
21.3. Неправильно применена теорема синусов.
22. Неправильно сделан чертеж.
23. В формуле преобразования суммы косинусов в произведение во втором
множителе cos заменили на sin.
24. Потеря корня путем сокращения.
25. Не указано ОДЗ уравнения.
26. Неправильно произведен отбор корней (в каждом из уравнений системы должна
быть своя буква, а не одна n).
27. Выполнены преобразования с разными единицами измерения.
28. Неправильно применено свойство параллелограмма.
29. Перепутали формулы для медианы и биссектрисы.
30. Получили систему уравнений, не соответствующую условиям задачи.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Программа “Генератор неправильных решений”
“Генератор неправильных решений” (Wrong Solution Generator v.3.3) по
заданному линейному или квадратному уравнению выдает протокол решения с
допущенными в нем ошибками (или без них). Пользователю необходимо найти и
отметить допущенные в решении ошибки.
Программа написана с использованием Microsoft Visual C++ 6.0/MFC 4.2.
Описание интерфейса программы:
| Сменить уравнение. Сгенерировать другое решение. Проверить правильность ответа. Информация о создателях. Таким образом отмечается ошибка. Выбрать случайные коэффициенты уравнения. |
Описание классов:
1. Класс “Задача”:
class CTask
{
public:
int nPosibleErr; // число возможных ошибок
long m_a; //
long m_b; // коэффициенты уравнения
long m_c; //
BOOL m_arErrors[8]; // массив ошибок
CTask(); // конструктор
virtual ~CTask(); // деструктор
virtual void Draw(CDC *pDC, CRect *rect);
// отображает уравнение
virtual void InitErrors()=0; // инициализирует ошибки
virtual void DrawStep(int Step, CDC *pDC, CRect *pRect)=0;
// отображает протокол решения
virtual void DrawErrors(CDC *pDC, CRect *pRect)=0;
// отображает варианты возможных ошибок
};
2. Класс “Линейное уравнение”:
class CLinTask : public CTask
{
public:
CLinTask(); // конструктор
virtual ~CLinTask(); // деструктор
void InitErrors(); // инициализирует ошибки
void Draw(CDC *pDC, CRect *rect); // отображает уравнение
void DrawStep(int Step, CDC *pDC, CRect *pRect);
// отображает протокол решения
void DrawErrors(CDC *pDC, CRect *pRect);
// отображает варианты возможных ошибок
void SetError1(); // устанавливаются конкретные ошибки
void SetError2(); // на каждом шаге решения
};
3. Класс “Квадратное уравнение”:
class CEqTask : public CTask
{
public:
long m_d; // дискриминант
double m_x1, m_x2; // корни уравнения
public:
CRect m_rectError5; //
CRect m_rectError6; // области вывода картинок
CRect m_rectError7; //
CRect m_rectError8; //
CEqTask();// конструктор
virtual ~CEqTask();// деструктор
void Draw(CDC *pDC, CRect *rect); // отображает уравнения
void DrawErrors(CDC *pDC, CRect *pRect);
// отображает варианты возможных ошибок
void InitErrors(); // инициализирует ошибки
void DoStep(int nStep); // выполняет очередной шаг решения
void DrawStep(int Step, CDC *pDC, CRect *pRect);
// отображает протокол решения
private:
void Extract(long &before, long &after); // извлечение корня
void SetError1(); // устанавливаются конкретные ошибки
void SetError2(); // на каждом шаге решения
};
Описание модулей программы:
1. Модуль ввода данных (класс CInputDialog, файлы InputDialog.h,
InputDialog.сpp) – при запуске программы или при нажатии кнопки “Сменить
уравнение” появляется окно диалога с пользователем. Модуль отвечает за
изменение данных объекта “Задача”.
2. Модуль оценки ответа (класс CCheckResultDialog, файлы CheckResultDialog.h,
CheckResultDialog.cpp) – при нажатии кнопки “Проверить правильность ответа”
появляется диалог оценки ответа. Модуль проверяет, все ли допущенные ошибки
отмечены и сообщает, мало или много отмечено ошибок, верно или неверно
отмечены ошибки.
3. Основной модуль (классы CTask, CLinTask, CEqTask, Cwsg3Dlg, файлы Task.h,
Task.cpp, LinTask.h, LinTask.cpp, EqTask.h, EqTask.cpp, wsg3Dlg.h,
wsg3Dlg.cpp) – отвечает за решение и отображение задачи, а также связывает
между собой все остальные модули.
Листинги файлов не приведены по причине их большого объема, но при желании их
можно посмотреть на дискете.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для
поступающих в вузы. - М.: Наука, 1976. - 640 с.
2. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы: Учебное
пособие / Под ред. М.И. Сканави. - М.: Высшая школа, 1980. - 541 с. (или
более поздние издания).
3. Лурье М.В., Александров Б.И. Пособие по геометрии. - М.: Изд-во МГУ, 1984.
- 256 с.
4. Мельников И.И., Сергеев И.Н. Как решать задачи по математике на
вступительных экзаменах. - Изд. 2-е, исправл. - М.: МП Азбука, 1994. - 352с.
5. Вавилов В.В., Мельников И.И. Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по
математике. Уравнения и неравенства: Справочное пособие. - М.: Наука, 1987. -
240 с.
6. Вавилов В.В., Мельников И.И. Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по
математике. Алгебра: Справочное пособие. - М.: Наука, 1988. - 432 с.
7. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по
математике: Справочное пособие. - М.: Наука, 1992. - 480 с.
8. Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Алгебра и анализ
элементарных функций. - М.: Наука, 1980. - 560 с.
9. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. - Киев:
РИА "Текст": МП "ОКО", 1992. - 290 с.
10. Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В., Смирнов С.Ф. Сборник конкурсных
задач по математике (с методическими указаниями и решениями). - М.: Наука,
1983. - 384 с. (или более поздние издания).
11. Пособие по математике для поступающих в вузы / Под. ред. Г.Н. Яковлева .
- М.: Наука, 1981. - 608 с.
12. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика на вступительных экзаменах
("Скорая помощь" абитуриентам).-М.: "Московский лицей", 1995.-352 с.
13. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. Графики функций: Справочник. -
Киев: Наукова думка, 1979. - 320 с.
14. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Задачи письменного экзамена по математике за
курс средней школы: Условия и решения. Вып. 3 - М.: Школа-Пресс, 1994. - 192
с.
15. Далингер В.А., Типичные ошибки по математике на вступительных экзаменах
и как их не допускать. Обл. ин-т усоверш. учителей, Омск-1991.
16. Дудницын В.П., Смирнова В.К., Содержание и анализ письменных
экзаменационных работ по алгебре и началам анализа за курс средней школы.
Львов, «Квантор» - 1991.
17. Агалаков С.А., Пособие по математике для поступающих в ОмГУ. Омск – 1997.
18. Павлович В.С., Анализ ошибок абитуриентов по математике. Киев, «Вища
школа» - 1985.
|
. По теореме косинусов из треуг-ка 
имеем: 
. Аналогично из треуг-ка 
имеем: 
.
, угол 
.
.
. По теореме косинусов из треуг-ка 
имеем: 
. Аналогично из треуг-ка 
имеем: 
.
, угол 
.
.
