Билеты: Билеты по геометрии за 11 класс

Билет №16

1. Конус (формулировки и примеры)

2. Признак параллельности прямой и плоскости

1.рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР , перпендикулярную к

плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим с отрезом в т. Р

Поверхность, образованная этими отрезками называется конической

поверхностью

а сами отрезки – образующими конической поверхности. Тело,

конусом .Коническая по-верх называется боковой поверхностью

конуса, а круг - снованием конуса . Т.Р называется вершиной

конуса , а образующие конической поверхности – образующими конуса. Все

образующие равны друг другу . ОР , прохо-дящая через центр основания и вершину

, называется Осью конуса . Ось конуса ⊥ к плоскости

основания. От-резок ОР называется высотой конуса.

Конус можно получить и вращением прямоуголь-ным треугольником вокруг одного из

его катетов. При этом боковая поверхность образуется с помо-щью гипотенузы.

Рассмотрим сечения конуса. Если секущая ось проходит через ось , то сечение

пред-ставляет собой треугольник , и называется осевым сечением. Если

секущая плоскость ⊥ к оси ОР конуса, о сечене пред-ставляет собой круг

с центром в т.О1 , расположенным на оси конуса. R1

этого круга равен РО1/РО r , где r- радиус основания

конуса , что легко усмотреть из подобия △РОМ∾△РО1М

1

Билет №7

1. Угол между скрещивающимися прямыми

2. Площадь боковой поверхности цилиндра.

1. Пусть АВ и СD – скрещивающиеся прямые . Возьмем произвольную

т. М1 пространства и проведем через нее прямые А1В

1 и С1D1 , соответственно параллельн АВ и СD

Если ∠ между прямыми А1В1 и С1D1

=φ, то будем говорить , что ∠ между скрещивающимися прямыми АВ и

СD=φ. Докажем теперь, что ∠ между прямыми не зависит от выбора т. М

1 . Действительно , возьмем любую т. М2 и проведем прямые А

2В2и С2D2 соответственно парал. АВ и СD

Т.к А1В1∥ А2D2 , С1

D1∥ C2D2 , то стороны углов с вершинами

в т.М1и М2 попарно сонаправлены ( ∠А1М

1С1 и ∠А2М2С2 , ∠А

1М1D1 и∠А2М2D2

) потому эти ∠ равны , ⇒ что ∠ между А2В2

и С2D2 так же =φ. В качестве т М можно взять любую

точку на одной из скрещивающихся прямых . Например на СD отметить т М и через

нее провести А'B' параллельные АВ .Угол между прямыми A'B'и CD= φ

2. Терема: S боковой поверхности цилиндра равна произведению

длинны окружности основания на высоту

Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и развернем т.о , что все

образующие оказались в одной плоскости α . В результате в пл α

получится прямоугольник АВВ'А' . Стороны АВ и А'В' –два края разреза боковой

поверхности цилиндра по образующей АВ . Это прямоугольник называется

разверткой боковой поверхности цилиндра . основание АА' прямоугольника

является разверткой окружности основания цилиндра , поэтому АА'=2πr ,

AB-h, где г- радиус цилиндра , h- его высота . за S бок цилиндра

принято считать S её развертки . Т.к S прямоугольника АВВ'А'= АА'•ВА =

2πr•h то, для вычисления S бок цилиндра радиуса к и высоты h формула

S бок=2πrh

Билет № 15

1. Цилиндр (формулировки и примеры)

2. Признак параллельных прямых.

1. Рассмотрим две параллельные плоскости α и β и окружность L

с центром О радиуса r , расположенную в пл α. Отрезки прямых заключенных

между плоскостями образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки

называются образующими цилиндрической поверхности По построению концов

образующих расположенных в пл β заполним окружность

L1. Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами

с границами L и L1 , называется цилиндром. Цилиндрическая

поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги -

основаниями цилиндра . Образующие цилиндрической поверхности называются

образующими цилиндра , прямая ОО1- осью цилиндра.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его

сторон. Сечение цилиндра , проходящее через ось , представляет собой

прямоугольник , две стороны которого образующие , а 2 другие –диаметры

оснований цилиндра , такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость

⊥ к оси цилиндра , то сечение является кругом. Цилиндры так же

могут быть и наклонными или иметь в своем основании параболу .

Параллельность прямых а и b обозначается так: а||b. Докажем теорему о

параллельных прямых.

Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной

прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.

Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не

лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит

пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая,

проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в

одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости

α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М

проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая

обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая, проходящая

через т М параллельно пря­мой а. Теорема доказана.

Билет № 17

1. Сфера, шар( формулировки, примеры)

2. Признак параллельности плоскостей.

Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точен.

пространства, расположенных на данном расстоянии or данной точки

Данная точка называется центром сферы (т О), а данное расстояние

— радиусом сферы. Радиус сфе­ры часто обозначают буквой R

Люб-ой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется

радиусом сферы.Отрезок, соединяю­щий две точки сферы и проходящий через ее

центр, называет­ся диаметром сферы. Очеви-дно, диаметр сферы равен 2R

Отметим, что сфера может быть полу-чена вращением полуокружности вокруг ее

диаметра Тело, ограни-ченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и

диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром

шара. Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки

пространства, кот. Расположены от точки О на расстоянии, не превышающем

H (вклю-чая и точку О), и не содержит других точек.

2.Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости

Д-во. Рассмотрим две плоскости α и β. В плоскости α лежат

пересека-ющиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости β — прямые a

1 и b\, причем a||a1 и b||b1.

Докажвм, что a||b. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и

плоскости a||β и b||β. Допустим, что плоскости α и β не

параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили,

что плоскость a проходит через прямую а, па-раллельную плоскости β,

и пересекает плоскость по прямой с. Отсюда следует, что a||с.

Но плоскость a проходит также через прямую b, параллель­ную плоскости

β. Поэтому b||c. Т.о, через т М проходят две прямые a и b

, параллельные прямой с. Но это невозможно, т.к по теореме о

параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая,

параллельная прямой с. Значит, наше допущение неверно и α|| β.

Теорема доказана.

Билет № 14

1. Пирамида(формулировка , примеры)

2. Существование прямой, параллельной данной прямой и проходящей

через данную точку.

1. Рассмотрим многоугольник А1А2.Аn и точку Р не

лежащую в плоскости этого многоугольника . Соединив т. Р отрезками с вершинами

многоугольника, получим n треугольников РА1А1, РА2

А3.,РаnА1.

Многоугольник, составленный из n –угольника А1А2.Аn и n

тре-угольников , называется пирамидой. Многоугольник А1А

2.Аn назы-вается основанием, а треугольники-

боковыми гранями пирами-ды. Т.Р называется вершиной пирамиды , а

отрезки РА1,РА2, ., РАn – её боковыми ребрами .

Пирамиду с основанием А1А2,.Аn и вершиной Р обозначают

так: РА1А2.Аn –и называют n –угольной пирамидой.

Треугольная пирамида называется тетраэдр. Перпендикуляр , прове-денный из

вершины пирамиды к плоскости основания , называют высотой пирамиды

(РН) Площадью полной поверхности пирамиды называют сумму площадей её

граней , а площадью боковой поверх-ности – сумму площадей её боковых

граней

Билет № 9

1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры)

2. Сложение векторов. Свойства сложения.

2. Возьмем 2 произвольных вектора a и b .Отложим от какой-нибудь т А

вектор АВ равный а. Затем от т В отложим ВС=b . Вектор АС называется

суммой векторов а и b : АС=a+b.

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. (по

этому же правилу складываются и коллинеарные векторы , хотя при их сложении

треугольника не получается) Сумма a+b не зависит от выбора т А, от которой

при сложении откладывается вектор а. (если например заменить т А на т А

1 то вектор АС заменится равным ему вектором А1С1

Привило треугольника можно сформулировать и в другой форме: для любых точек

А,В,и С имеет место равенство АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных

векторов можно пользоваться так же правилом параллелограмма. Для любых

векторов а, b и с справедливы равенства: a+b=b+a (перемести-тельный з-н.

);(a+b)+с=а+(b+с)(сочетательный з-н). Два нулевых вектора называются

противоположными, если их длины равны нулю и они противоположно

направлены.Вектором проти-оположным нулевому вектору , считается нулевой

вектор. Вектр АВ является проти-воположным вектру ВА

Билет № 10

1. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.( формулировки ,

примеры)

2. Умножение вектора на число . Св-ва произведения вектора на число.

1. Двугранным углом называют фигуру , образованную прямой а и 2-мя

полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости, образующие двугранный угол , называются его гранями.

У двугранного угла 2 грани, отсюда и название. Прямая а – общая граница

полуплоскостей- называется ребром двугранного угла. Для измерения

двугранного угла отметим на ребре какую-нибудь т. и в каждой грани из этой

точки проведем перпендикуляр к ребру. Образованный этими лучами угол

называется линейный угол двугранного угла. (Ð АОВ ) ОА^CD CD^ОВ, то

плоскость АОВ ^ к прямой СD. Двугранный угол имеет бесконечное множество

линейных углов и они равны друг другу. Рассмотрим 2 линейных ÐАОВ и ÐА

1О1В1 . Лучи ОА и О1А1 лежат в

одной грани ^к ОО1, поэтому они сонаправлены. Точно так же

сонаправлены ОВ и О1В1=> Ð А1О1В1

=ÐАОВ. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его

линейного угла . Он может быть прямым , острым, тупым ( 90°,

<90°, >90°)

2. Произведение ненулвого вектора а на число k называется такой вектор

b , длинна которого равно |k|·|a| , причем вектор a и b

сонаправлены при k≥ 0 и противоположно направлены при k<0.

Произведением ненулевого вектора на любое число нулевой вектор.

Произведение вектора а на число k обозначается так : ak. Для любого числа k и

вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из этого определения следует , что

произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор. Для любых векторов

а и b и любых чмсел k, l справедливы равенства:

(kl)a= k(al) (сочетательный з-н)

k(a+b)=ka+kb(Ι-ый распределительный з-н)

(k+l)a=ka+la ( II-ой распределительный з-н)

отметим, что (-1)а является вектором противоположному вектору а, т.е. (-1)а =

-а. Действитель-но, длины векторов (-1)а и а равны: |(-1)a|

=|(-1)|×|а|=а. Кроме того , если вектолр а ненулевой , то векторы (-1) а

и а противоположно направлены. Точно так же, как в планеметрии, можно

диказать, что если векторы а и b коллинеарны и а¹0 , то существует число

k такое, что b= ka.

Билет № 11

1. призма (формулировки , примеры)

2. Скалярное произведение векторов.

1.Рассмотрим два равных многоугольника А1А2..,

Ап и В1В2....Вп,

расположенных в параллельных пл-тях а и р так, что отрезки А1В

1 ,А2В2, ..., АпВп,

соединяющие соответственные вершины мн-

ков, параллельны.Каждый из п 4-хугольников A1A2

, .... AnA1B1Bn

является п-ммом, так как имеет попарно параллельные про-тивоположные стороны.

Мн-к, составленный из 2 равных мн-ков А1A2...An

и В1В2...Вп, расположенных в

параллельных пл-тях, и n п-ммов наз призмой Мн-ки A1A

2....An и B1B2...Bn наз

основаниями, а п-ммы-бокоеыми гранялш призмы.От резки А1

В1, А2В2 ..., АпВп наз

бо-коеыми ребрами призмы. Эти ребра как противрпрложные стороны п-ммов

последовательно приложенных друг к другу, равны в парал-лельны.Призму с

основаниями A1A2....An и B1B2

...Bn обозначают-A1A2 ....Аn

В1В2...Вn и называют п-угольной

призмой.4-ехугольная призма- параллелепипед. ^, проведенный из

какой-нибудь точки одного ос-нования к плоскости другого основания, называется

высотой приз-мы. Если боковые ребра призмы ^ к основаниям, то призма наз

пря-мой, в противном случае –наклонной. Высота прямой призмы равна ее

боковому ребру.Прямая при-зма называется пра-вильной, если ее основания

— правильные мн-ки. У такой призмы все боковые грани -равные прямоугольники S

полной поверхности. призмы называется сумма площадей всех ее граней, а S

боковой поверхности приз-мы— сумма площа-дей ее боковых граней. Пло-щадь S

полн полной повер-хности выра-жается через площадь S6os

боко-вой поверхности и пло-щадь Sосн ос-нования призмы форму S

полн = S6oк+ 2Sосн.

2. Скакалярным произведением 2-ух векторов называется произведение их

длин на косинус угла между ними.Скал-ое произведение векторов а и b

обозначают так :аb . Т. о. ab=|a|×|b| cos (ab). Скал-ое произведение

вектора равно 0 тогда, когда эти векторы ^; скал-ый квадрат вектора(т.е

скал-ое призведение вектора на себя) = квадрату его длинны.. Скал-ое

произведение 2-ух векто-ров можно вычислить, зная координаты этих

векторов:скал-ое произведение векторов а{x1;y1;z1

} и b{x2;y2;z2}выражается формулой: аb= x1

x2+y1y2+z1z2. Косинус

Ð a между ненулевыми вектора-ми а{x1;y1;z1

} и b{x2;y2;z2} вычисляется формулой.

соsa=	x1x2+y1y2+z1z2.	В самом деле, так как а b =|а|×|b|, то	cosa=	ab
	√x12+y1²+z12 ⋅√ x22+y2²+z22			|a|×|b|

Подставив сюда выражения для ab, |а|и|b| через координаты векторов а и b

получим эту формулу. Для любых векторов а,b и c и любого числа k справедливы

равенства:

10.а2 ³) , причем а2>0 при а¹0

20.ab=ba(переместительный з-н)

30.(a+b)c=ac+bc(распределительный з-н)

40.k(ab)=(ka)b (сочетательный з-н)

Утверждения 1⁰-4⁰относятся и к планиметрии Нетрудно док-ть , что

распределительный з-н имеет место для любого числа слагаемых(

(a+b+c)d=ad+bd+cd.)

Билет № 12

1. Прямая и правильная призма(формулировки примеры)

2. Существование плоскости , проходящей через данную прямую и данную

точку.

Билет №20

1. Фрмула обьема шара( формула примеры)

2. Теорема о трех перпендикулярах

1. Теорема: Объем шара радиуса R равен 4/3 pR3

Д-во: Рассмотрим шар радиуса R с центром в т.О и выберем ост Ох

произвольным образом. Сечение шара пл. ^к оси Ох и проходящей через т М этой

оси является кругом с центром в т М. Обозничим радиус этого круга r , а его

площадь S(x), где х- абсц-исса т М. Выразим S(х)через х и R.Из

прямоуголь-ника ОМС находим: r=ÖOC2 –OM2 =ÖR

2-x2.Так как S(x)=pR2 ,то S(x)= p(R2- x

2). Заметим , что эта фор-мула верна для любого положения т.М на диаметре

АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию -R£ x £R. Примеряя

основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим

V	R R R R	px3	R	4
	=∫p(R2-x2)dx= pR2∫ dx-p∫x2dx=pR2x½-		½=		pR3
		3		3
	-R -R -R -R		-R

Билет № 6

1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)

2. Объем конуса.

2 Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на

Д-во Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R,

высо-той h и вершиной т О . Введем ось Ох (ОМ). Произвольное сечение конуса

пл. , ^ к оси Ох , является кругом с центром в т М1 пересе-чения

этой пл. с осью Ох. Обозначим радиус через R1 ,а S сечения через

S(х) , где х – абсцисса т М1 . Из подобия прямоугольных ∆ ОМ

1А1 и ОМА=> что

ОМ1

=

R1

, или

x

=

R1

откуда

R=

xR

так как

S(x)= pR12

,то

S(x)=

pR2

ОМ

R

h

R

h

h2

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=0, получим

h

h

h

V=

∫

πR2

x2dx=

πR2

∫

x2dx=

πR2

×

x3

½=

1

πR2 h

h2

h2

h2

3

3

0

0

0

Площадь S основания конуса равна pR2, поэтому V=1/3

Sh. Следствие. Объемом V усеченного конуса , высота кот равна h, а площадь

оснований S и S1вычисляется по формуле V=1/3

h(S·S1+√ S·S1).

Билет № 3

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

2. Объем призмы.

1.Теорема. Если прямая, ке лежащая в данной шюскости,

Д-во. Рассмотрим пл α и две параллельные прямые a и b,

распо-ложенные так, что прямая b лежит в пл α , а прямая a не лежит

в этой. Докажем, что a||α. Допустим, что это не так. Тогда прямая

a пересекает пл α, а значит, по лемме о пересечении плоскос­ти

парал-лельными прямыми прямая b также пересекает пл α. Ho это

невоз-можно, так как прямая b лежит в пл α. Итак, прямая а не

пересекает пл α, поэтому она парал­лельна этой плоскости.чтд.

Докажем еще 2 утверждения,

1˚ . Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой

прямой.Пусть через данную прямую а, парал-лельную пл α

проходит пл β, пересекающая пл α пo прямой b . До-кажем, что b

||а.Действительно, эти прямые лежат в одной пл (в пл β) и не

пересекаются: ведь в противном случае прямая а пересекала бы пл α,

что невозможно, поскольку по условию a||α.

2°. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной пл, то другая

прямая либо также параллельна данной пл, либо лежит в этой пл..В самом

деле, пусть a и b — параллель-ные прямые, причем прямая a параллельна

пл α. Тогда прямая a не пере­секает пл α, и, =>, по лемме

о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также не пере­секает пл

α. Поэтому прямая b либо параллельна пл α, либо лежит в этой пл.

2.Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Д-во: Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА1В

1С1с объемом V и высотой h.

Проведем такую высоту ∆АВС (ВD) кот. разделит этот ∆на 2 ∆.

Поскольку ВВ1D разделяют данную призму на 2 призмы , основания кот

является прямоугольный ∆ABD и ВСD. Плэтому объем V1 и V2

соответственно равны SABD ·h и SВСD

·h. По св-ву 20 объемов V=V1+V2 т.е

V= SABD ·h+ SВСD ·h= (S

ABD+ SВСD) h. Т.о. V=SАВС·h

Д-во Возьмем произвольную прямую призму с высотой h и

площадью основания S. Такую

призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим

объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за

скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований

треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом,

объем исходной призмы равен произведению Sh. Теорема доказана.

Билет №5

1. Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)

2. Объем цилиндра.

1.Рассмотрим пл α и т А, не лежащую в этой плоскости.

Проведем через т А прямую,^ к пл α, и обозначим букв H т

пересечения этой прямой с пл α .Отрезок АН называется, ^

т А к пл α, a т Н — основанием ^. Отметим в пл α

какую-нибудь т М,отличную от Н, и проведем отр AM.Он

называется наклонной, про-вед из т А к пл α , а т М —

основанием наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на

пл α. Сравним ^ АН и наклон-ную AM: в прямоугольном

∆АМН сторона АН — катет, а сторона AM -

гипотенуза, поэтому АН<АМ. Итак, ^, проведенный аз данной т к пл, меньше

любой наклонной, проведенной из той же т к этой пл.

=> из всех расстояний от т А до различных т пл α наименьшим

является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина ^, проведенного из т

А к пл α , называется расстоянием от т A до пл α

Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости

равноудалены от другой плоскости.

2. Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную

n-угольную призму Fn а в

эту призму впишем цилиндр Рп . Обозначим через V и Vn

объемы цилиндров Р и Рп, через rп — радиус цилиндра Р

п. Так как объем призмы Fn равен Snh, где Sn

- площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn , кот в

свою очередь , содержит цилиндр Рп , то Vn<Sn

h<V. Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радиус rп

цилиндра Рп стремиться к радиусу r цилиндра Р(rп

=rcos180/n®r при r→∞). Поэтому V цилиндра Рп стремиться

к объему цилиндра Р: limVn=V. Из равенства (Vn<S

nh<V) =>, что

n→∞

limSnh=V. Но limSn=πr2 Т.о V=πr2h. т.к πr2=S , то получим V=Sh.

n→∞ n→∞

Билет № 13

1. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед(формулировка примеры)

2. Теорема о боковой поверхности призмы.

1. Прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед называется

прямоугольник, если его боковые ребра ^к основанию, а основания представляют

собой прямоугольники: коробки,

ящики, комнаты к т. д. прямоугольный параллелепипед ABCD A1B

1C1D1.Его основаниями служат прямоугольники

ABCD и A1B1C1D1 a

боковые ребра АА1, ВВ1, СС1 и DD

1 ^ к основаниям. Отсюда=>, что АА1^АВ,

т. е. боковая граyь АА1В1В — прямоуголь-ник. To же

самое можно сказать и об остальных боковых гранях. Та-ким образом, мы

обосновали следующее свойство прямоугольного параллелепипеда:

1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

Полупл, в кот расположены смежные грани парал-

да, образуют двугранные углы, кот называются двугранными углами параллелепипеда.

2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.

Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями

прямоугольного парал-да. Например, у парал­-да, можно взять длины ребер АВ,

AD и АА1.Длины смежных сторон можно назвать измерениями

прямоугольника и поэтому можно сказать, что квадрат диагонали,

прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.