Векторная алгебра
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел
векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными)
векторами. К
числу операций относятся линейные
операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на
число.
Суммой a+b векторов a и b называют вектор , проведенный из начала a к концу b
, если конец a и начало b
совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:
a+b=b+a (коммутативность)
(а+b)*с=а*(b+с) (ассоциативность)
a + 0=a (наличие нулевого элемента
)
a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента),
где 0 - нулевой вектор, -a есть
вектор, противоположный вектору а.
Разностью a-b векторов a и
b называют вектор x такой, что x+b=a.
Произведением
lx вектора а на число l
в случае l¹0, а¹О называют вектор, модуль которого равен |l||a| и
который направлен в ту же сторону, что и вектор a,
если l>0, и в противоположную, если l<0. Если l=0 или (и) a =0, то la=0. Операция умножения
вектора на число обладает свойствами:
l*(a+b)= l*a+l*b (дистрибутивность относительно сложения векторов)
(l+u)*a=l*a+u*a (дистрибутивность относительно сложения чисел)
l*(u*a)=(l*u)*a (ассоциативность)
1*a=a
(умножение на единицу)
Множество всех векторов пространства с введенными в
нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).
В
Векторной алгебре важное
значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a, b,…, g
из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:
aa+bb+…gc=0.
(1)
Для линейной
зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для
линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность.
Если один из векторов а, b, ...,c
нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b,
..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что
числа a, b,…, g равны нулю. На плоскости существует не более
двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.
Совокупность трех
(двух) линейно независимых векторов e1,e2,e3
трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует
базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:
a=a1e1+a2e2+a3e3.
Числа a1,a2,a3
называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a1,a2,a3}.
Два вектора a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} равны тогда и только
тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе.
Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} ,b¹0, является пропорциональность их
соответствующих координат: a1=lb1,a2=lb2,a3=lb3. Необходимым и
достаточным условием компланарности трех векторов a={a1,a2,a3} , b={b1,b2,b3} и c={c1,c2,c3} является равенство :
| a1 a2 a3 |
|
b1 b2 b3| = 0
| c1 c2 c3 |
Линейные операции над
векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы
векторов a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} равны суммам соответствующих координат: a+b={a1+b1,a2+b2,a3+b3}. Координаты произведения вектора а на число l
равны произведениям координат а на l :
lа= {lа1,la2, la3}.
Скалярным
произведением (а, b) ненулевых
векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла j между ними:
(а,
b) = | а
|*| b | cosj.
За j принимается угол между векторами, не
превосходящий p.
Если а=0 или b=0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное
произведение обладает свойствами:
(a, b)= (b, а)
(коммутативность),
(a,b+с)=
(a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),
l(a,b)=(
la,b) =(a,l6) (сочетательность относительно
умножения на число),
(a,b)=0,
лишь если а=0 или (и) b=0 или a^b.
Для вычисления
скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными
координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k ( ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов :
a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3}
заданных в
ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:
(a,b)=a1b1+a2b2+a3b3
Косинус угла j между ненулевыми
векторами a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3}
может быть вычислен по
формуле:
где
и
Косинусы углов вектора
a={a1,a2,a3} с векторами базиса i, j, k называют.
направляющими косинусами вектора а:
, , .
Направляющие косинусы обладают следующим свойством:
cos2a+cos2b+cos2g=1
Осью называется прямая
с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление
на прямой. Проекцией Пр. е а
вектора a на ось называют направленный отрезок на оси,
алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е. Проекции обладают свойствами:
Пр. е (a+b)= Пр. е a+ Пр. е b (аддитивность),
Пр. е a
= Пр. е la (однородность).
Каждая координата
вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось,
определяемую соответствующим вектором базиса.
В пространстве
различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если
наблюдателю из их общего начала обход
концов векторов a, b,
с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном
случае a,b,c -
левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены
соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой)
руки(см. рис).
Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
b b
c
c
a a
правило левой руки правило правой руки
Ниже тройку векторов i,j,k следует считать правой .
Пусть на плоскости
задано направление положительного вращения (от i к j). Псевдоскалярным
произведением aVb
ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на
синус угла j
положительного вращения от a к k:
aVb=| a || b |*sinj
Псевдоскалярное
произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное
произведение обладает свойствами:
aVb=-bVa
(антикоммутативность),
aV (b+c)=aVb+aVc
(дистрибутивность относительно сложения векторов),
l(aVb)=laVb (сочетательность относительно умножения на число),
aVb=0, лишь если
а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны.
Если в
ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты {a1,a2} {b1,b2}, то :
aVb=a1b1-a2b2.
|
