Главная » Каталог    
рефераты Разделы рефераты
рефераты
рефератыГлавная

рефератыБиология

рефератыБухгалтерский учет и аудит

рефератыВоенная кафедра

рефератыГеография

рефератыГеология

рефератыГрафология

рефератыДеньги и кредит

рефератыЕстествознание

рефератыЗоология

рефератыИнвестиции

рефератыИностранные языки

рефератыИскусство

рефератыИстория

рефератыКартография

рефератыКомпьютерные сети

рефератыКомпьютеры ЭВМ

рефератыКосметология

рефератыКультурология

рефератыЛитература

рефератыМаркетинг

рефератыМатематика

рефератыМашиностроение

рефератыМедицина

рефератыМенеджмент

рефератыМузыка

рефератыНаука и техника

рефератыПедагогика

рефератыПраво

рефератыПромышленность производство

рефератыРадиоэлектроника

рефератыРеклама

рефератыРефераты по геологии

рефератыМедицинские наукам

рефератыУправление

рефератыФизика

рефератыФилософия

рефератыФинансы

рефератыФотография

рефератыХимия

рефератыЭкономика

рефераты
рефераты Информация рефераты
рефераты
рефераты

Векторная алгебра


  
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА  - раздел
векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными)
векторами. К
числу операций  относятся линейные
операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на
число.
   Суммой a+b векторов a  и b  называют вектор , проведенный из начала a к концу b
, если конец a и начало b
совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:
   a+b=b+a                (коммутативность)
       (а+b)*с=а*(b+с)   (ассоциативность)
       a + 0=a                   (наличие нулевого элемента
)
       a+(-a)=0                 (наличие противоположного элемента),
где 0 - нулевой вектор, -a есть
вектор, противоположный вектору а.
Разностью a-b векторов a и
b называют вектор x такой, что x+b=a.
Произведением
lx вектора а на число l
в случае l¹0, а¹О называют  вектор, модуль которого равен |l||a| и
который направлен в ту же сторону, что и вектор a,
если l>0, и в противоположную, если l<0. Если l=0 или (и) a =0, то la=0. Операция умножения
вектора на число обладает свойствами:
 
 l*(a+b)= l*a+l*b   (дистрибутивность относительно сложения векторов)          
(l+u)*a=l*a+u*a     (дистрибутивность относительно сложения чисел)
 l*(u*a)=(l*u)*a      (ассоциативность)
 1*a=a
                       (умножение на единицу)
Множество всех векторов пространства с введенными в
нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).
В
Векторной  алгебре  важное 
значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , с называются  линейно   зависимыми   векторами, если существуют числа  a, b,…, g
из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:
aa+bb+…gc=0.
     (1)
  Для линейной
зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для
линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность.
Если один из векторов а, b, ...,c
нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b,
..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что
числа a, b,…, g  равны нулю. На плоскости существует не более
двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.
Совокупность трех
(двух) линейно независимых векторов e1,e2,e3
трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует
базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:
 
a=a1e1+a2e2+a3e3.
Числа  a1,a2,a3
называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a1,a2,a3}.
Два вектора a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} равны тогда и только
тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе.
Необходимым и достаточным условием коллинеарности  векторов  a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} ,b¹0, является пропорциональность их
соответствующих координат: a1=lb1,a2=lb2,a3=lb3. Необходимым и
достаточным условием компланарности трех векторов a={a1,a2,a3} , b={b1,b2,b3}  и c={c1,c2,c3}  является равенство :
                         
|  a1 a2 a3 |
      | 
b1 b2 b3| = 0
|  c1 c2 c3  |
Линейные операции над
векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы
векторов a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3}    равны суммам соответствующих координат:  a+b={a1+b1,a2+b2,a3+b3}. Координаты произведения вектора а на число l
равны произведениям координат а на l :
                                         lа= {lа1,la2, la3}.
Скалярным
произведением (а, b) ненулевых
векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла j между ними:
                              
                                               (а,
b) = | а
|*| b | cosj.
За  j  принимается угол между векторами, не
превосходящий p.
Если а=0 или b=0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное
произведение обладает свойствами:
     (a, b)= (b, а)
(коммутативность),
     (a,b+с)=
(a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),
      l(a,b)=(
la,b) =(a,l6) (сочетательность относительно
умножения на число),
     (a,b)=0,
лишь если а=0 или (и) b=0 или a^b.
Для вычисления
скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными
координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных       взаимно         перпендикулярных        векторов        (ортов)          i, j, k  ( ортонормированный  базис). Скалярное произведение векторов :
                                              a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3}  
заданных в
ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:  
                                                (a,b)=a1b1+a2b2+a3b3
Косинус угла j между ненулевыми
векторами a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3}  
может быть вычислен по
формуле:
             
                                             
 где
 и
Косинусы углов вектора
a={a1,a2,a3}  с векторами базиса i, j, k называют.
направляющими косинусами вектора а:
      ,   ,   .
Направляющие косинусы обладают следующим  свойством:
                                        cos2a+cos2b+cos2g=1
Осью называется прямая
с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление
на прямой. Проекцией Пр. е а
вектора a на ось называют направленный отрезок на оси,
алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е. Проекции обладают свойствами:
                            Пр. е (a+b)= Пр. е a+ Пр. е b  (аддитивность),
                            Пр. е a
= Пр. е la                     (однородность).
Каждая координата
вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось,
определяемую соответствующим вектором базиса.
В пространстве
различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если
наблюдателю из их общего начала обход
концов векторов a, b,
с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном
случае a,b,c -
левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены
соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой)
руки(см. рис).
  Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
                            
b                                       b
                       
          c            
c                                        
                        
a                                           a
  
          правило левой руки              правило правой руки
             
   Ниже тройку векторов i,j,k следует считать правой .
Пусть на плоскости
задано направление положительного вращения (от i к j). Псевдоскалярным
произведением aVb
ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на
синус угла j
положительного вращения от a к k:
                                             
aVb=| a || b |*sinj
Псевдоскалярное
произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное
произведение обладает свойствами:
    aVb=-bVa
(антикоммутативность),
    aV (b+c)=aVb+aVc
(дистрибутивность относительно сложения векторов),
    l(aVb)=laVb (сочетательность относительно умножения на число),
    aVb=0, лишь если
а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны.
Если в
ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты {a1,a2} {b1,b2}, то :
                                        
                                                  
aVb=a1b1-a2b2.
рефераты Рекомендуем рефератырефераты

     
Рефераты @2011