Применение метода частотных диаграмм к исследованиям устойчивос ти систем с логическими алгоритмами управления
Московский Государственный
Технический Университет им. Н.Э. Баумана
Курсовая работа по курсу “Нелинейные САУ”
на
тему:
Применение метода частотных
круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами
управления.
Выполнил: ст-т гр. АК4-81
Смык В.Л.
Руководитель:
профессор
Хабаров В.С.
Реутов 1997 г.
Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию
устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.
На ранней стадии развития теории
автоматического регулирования требование устойчивости работы системы было
первым и обычно единственным и содержание большинства теоретических
исследований сводилось к иследованию устойчивости.
“Термин “устойчивость” настолько
выразителен, что он сам за себя говорит”,-отмечают в начале изложения теории
устойчивости Ж. Ла Салль и С. Лефшец [1]. Это вполне справедливо, но, несмотря
на это, неточности и нелогичности можно встретить как раз не в математических,
а в смысловых понятиях и терминах.
Устойчивостью
любого явления в обиходе называю его способность достаточно длительно и с
достаточной точностью сохронять те формы своего существования, при утрате
которых явление перестает быть самим сабой. Однако не только в обиходе, но и в
научной терминалогии устойчивым называют не явление, а систему, в корой оно
наблюдается, хотя это не оправдывает логически. Устойчивы ли физические тела -
шар или куб? Такой вопрос будет иметь смысл, если речь идет о материале, из
которого они сделаны. (Металлический шар
устойчив,
шар из дыма нет.) Теорию управления интересует, однако, не эта прочнасная
устойчивость. Подразумевается, что система управления как инженерная
конструкция заведома устойчива, и в теории изучается устойчивость не самой
системы, а ее состояний и функционирования. В одной и той же системе одни
состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие не устойчивыми. Более
того, одно и то же жвижение может быть устойчивым относительно одной переменной
и неустойцивым относительно другой - это отмечал еще А.М. Ляпунов [2]. Вращение
ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и неустойчиво
относительно угла поворота вала. Движение ракеты устойчиво относительно
траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системе координат. Поэтому
нужно оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе и
относительно каких переменных изучается. Так же есть много методов для оценки
самой устойчивости. Мы рассмотрим как можно оценить устойчивость системы с
логическим алгоритмом управления методом круговых диаграмм.
Рассмотрим теоретическую часть и посмотрим
что из себя представляет круговой критерий. Пусть дана система
.
x=Ax+bx, s=c’x, (1)
где x и s - в общем случае векторы (и,
следовательно, b и с - прямоугольные матрицы), а матрица А не имеет собственных
значений на линейной оси. Предположим , что для некоторого m, £ m £
система
(1), дополненая соотношением x=-ms, асимптотически усойчива.
Для абсолютной экпоненциальной устойчивости
системы (1) в классе М() нелинейностей x=j(s,t), удовлетворяющих условию
£ j(s,t)/s £
(2)
достаточно,
чтобы при всех w, -¥<w<+¥, выполнялось соотношение
Re{[1+w)][1+W(jw)]}>0. (3)
Круговой
критерий вытекает из квадратичного критерия для формы F(x,s)=(s-x)(x-s). Действительно, как было показано выше,
форма F(jw,x) имеет вид
F(jw,x)=-Re{[1+W(jw)][1+W(jw)]}|x|
Из этой формулы после сокращения на |x| следует (3).
В (3) ¹-¥ ,
¹+¥. Случай, когда либо =-¥, либо =+¥ рассматривается аналогично.
Круговой критерий представляет собой
распространение линейных частотных критериев устойчивости Найквиста, Михайлова
и других на линейные системы с одним линейным или нелинейным, стационарным или
нестационарным блоком. Он получается из (3), если вместо передаточной матрицы
использовать частотную характеристику линейной части W(jw).
Обозначая комплексную переменную W(jw)=z, рассмотрим систему с одной нелинейностью,
удовлетворяющей одному из следующих условий:
Re[(1+z)(1+z)]£0, если
¹-¥ ,
¹+¥. (4)
Re[(1+z)z]£0, если
¹-¥ ,
¹+¥. (5)
Re[z(1+z)]£0, если
¹-¥ ,
¹+¥. (6)
Пусть
С() - облость комплексной плоскости z, определяемая этими
условиями. Граница В() области определяемая уравнениями получаемыми из (4)-(6)
заменой знаков неравенств равенствами. Для (4) получаем окружность, проходящую
через точки -1/, -1/ с центром на
оси абсцисс, причем область С будет
внутренностью этой окружности, если >0, т.е. если нелинейные характеристики лежат в 1 и 3
квадрантах, и ее внешностью, если сектор () захватывает два смежных квадранта. Если одна из границ
сектора совпадает с осью абсцисс, т.е. если =0 или =0 , то область С будет полуплоскостью, а ее граница -
вертикальной прямой, проходящей соответственно через -1/ или -1/. На рисунке 1 показаны границы в плоскости z для
различного расположения секторов () в плоскости s, x. Там же изображены кривые W(jw), w>0 для неособого случая,
расположенные так, что возможна абсолютная устойчивость. Однако только
приемлимого расположения хаоактеристик W(jw) еще недостаточно для суждения об
абсолютной устойчивости : кроме этого, нужно еще потребовать, чтобы линейная
замкнутоя система была асимптотически устойчивой.
Круговой критерий обеспечивает также
абсолютную устойчивость для системы с любым блоком, вход s и выход x которого удовлетворяют для всех t
неравенству
(s-x)(x-s)³0 (7)
Рисунок 1, а.
Рассмотрим систему, приведенную на рис.
2.
А Х Y У (P) Z
(-)
G(p)
g
Рисунок 2.
Здесь W(p) - оператор линейной части системы, которая может иметь в
общем случае следущий вид:
W(p)=;
(8)
W(p)=;
Алгоритм регулятора имеет вид:
y=Yx,
при gx>0
Y= (9)
- при gx<0,
g=(
В форме уравнений Коши рассматриваемая система имеет вид:
=,
=-, (10)
k при g>0
где =
- k при g<0,
g=c+; =.
Соответствие записей системы на рис. 2
достигается, когда при
W(p)= в уравнениях (10) имеем:
(11)
а при W(p)= имеем:
(12)
Причем
для обоих случаев (11) и (12) имеет место соотношение
(13)
В
соответствии с изложенным одинаково справедливо рассматривать в виде
структурной схемы на рис. 2 с известным линейными операторами - и G(p) или в виде
формы Коши (10).
Дополнительно отметим, что структурная
интерпритация рассматриваемой системы на рис. 2 имеет еще одну структурную
схему описания, приведенную на рис. 3.
|x|=c
l g y
z
(-) x G(p) W(p)
Рисунок 3.
Это
означает, что аналитической записи (10) соответствуют два структурных
представления исследуемой СПС, причем второе позволяет рассматривать систему
(10) как релейную систему с изменяемым ограничение, когда |x| - var.
Далее перейдем к анализу нашего метода.
Согласно
частотной теоремы (10), для абсолютной устойчивости системы на рис. 3
лостаточно, чтобы при всех w, изменяющихся от - ¥ до + ¥, выполнялось соотношение:
Re{[1+w)][1+W(jw)]}>0,
а гадограф mW(jw)+1 при соответствовал
критерию Найквиста.
Для исследуемой системы условие (3) удобнее записать в виде
(4) и (5).
На рис. 4 приведенны возможные нелинейные
характеристики из класса М() и годографы W(jw), расположенные таким образом, что
согласно (4) и (5) возможна абсолютная устойчивость.
y ^
y=g ()
|x| y=g (при =0)
>
0
“а” “б”
“в” “г”
Рисунок 4.
В рассматриваемом случае (10) при
W(p)=, когда
W(p)= W(p)G(p), G(p)=p+1,
годограф W(jw) системы на рис. 5.
j
W(jw)
w=¥
> <
=
w=0
Рисунок 5.
В случае (10) справедливы графические формы
на рис. 4 в,г, т.е. исследуемая система абсолютно устойчива в смысле кругового
критерия (3) или (5) при
>
(14)
Интересно заметить, что достаточные условия абсолютной
устойчивости по Ляпунову
а > 0 , y(t) > 0
и
a > c
для
рассматриваемого случая совпадают с достаточными условиями абсолютной
устойчивости, полученными для кругового критерия (14), если выполняется
требование
y(t) > 0 (15)
поскольку, согласно (11) и (13) a=a=.
Докажем это, используя условия
существования скользящего режима
-k£y(t)=ck
т.е.
подставим сюда вместо коэфициентов а,с, и k их выражения через
, , , тогда получим
-£y(t)= £ (16)
Согласно рис. 5 и условия (16)
получаем:
1) при = , y(t)=0
2) при > , y(t)>0
3) при < , y(t)<0,
что и требовалось доказать.
Теперь
рассмотрим нашу систему с логическим алгоритмом управления, ее логическая схема
приведена на рис. 6.
|x|=c
l g
s z
(-) x G(p) (p)
Рисунок 6.
В данном случае считаем что:
- варьируемая
величина,
=0.5,
=0.1 (анализ поведения системы при изменении данного
параметра исследуется в работе ст-та Новикова, мы берем оптимальное значение),
=0.1,1 (коэффициент обратной связи),
=10,100.
Рассмотрим теперь саму функцию:
W(p)=G(p)W(p),
где G(p) - функция корректора, W(p)= (p)W(p), где
(p)=, а W(p) в свою очередь будет:
W(p)=,
где , соответственно вся функция имеет вид:
W(p)=;
Теперь заменяем p на jw и имеем вид:
;
Для
построения гадогрофа выведем формулы для P(w), jQ(w) которые имеют вид:
P(w)=;
jQ(;
Графики можно посмотреть в приложении N 2.
Учитывая , что добротность x должна быть ³ 0.5¸0.7 мы можем определить добротность
нашей системы, она примерно равна 0.5. Отсюдо видно, что из-за увеличения и , x уменьшается, можно сделать вывод, что колебательность звена
увеличиться. Это можно наблюдать на графиках 1.13 - 1.16 в приложении N 2.
Но
это не подходит по требованию нашей задачи.
Так как > , то можно сделать вывод, что коректор будет влиять только
на высоких частотах, а на низких будет преобладать , что можно наблюдать на графиках 1.1 - 1.4. На графиках 1.5
- 1.8 можно наблюдать минемальные значения , это значит что, при этих значениях будет максимальные
значения полки нечувствительности релейного элемента.
Минемальные значения полки
нечуствительности можно наблюдать на графиках 1.9 - 1.12, особенно при
минемальном значении .
Приложение N 1.
Программа для построения годографов на
языке программирования
СИ ++.
#include
<graphics.h>
#include
<iostream.h>
#include
<conio.h>
#include
<dos.h>
#include
<stdlib.h>
#include
<stdio.h>
#include
<math.h>
#include
<string.h>
void
Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,
int Xc, int
Yc, int x, int y, int z, int err);
void
Osi(int Xc, int Yc, int kol);
int xmax, ymax;
float
Kos[]={0.1,1.0},
Ko[] ={10.0,100.0},
Tpr[]={0.01,0.09,0.2,0.5};
void
main(void)
{
float P_w, Q_w, w;
int
driver, mode, err;
driver = DETECT;
initgraph(&driver,&mode,"");
err = graphresult();
if (err!=grOk)
{cout<<"\n\t"<<grapherrormsg(err);
getch();}
else {
xmax = getmaxx();
ymax = getmaxy();
int Xc=(int)(xmax/2),
Yc=(int)(ymax/2);
for(int i=0;i<=1;i++) for(int
j=0;j<=1;j++) for(int k=0;k<=3;k++){
cleardevice();
setviewport(0,0,xmax,ymax,0);
Osi((int)(xmax/2),(int)(ymax/2),i+j+k);
Godograf(Tpr[k],Ko[j],Kos[i],15,(int)(xmax/2),(int)(ymax/2),k,j,i,1);
setcolor(7);
setlinestyle(1,0,1);
rectangle(Xc-18,Yc-15,Xc+18,Yc+15);
setlinestyle(0,0,1);
rectangle(10,Yc+5,250,Yc+205);
setcolor(15);
setviewport(10,(int)(ymax/2)+5,250,(int)(ymax/2)+205,1);
setfillstyle(1,0);
floodfill(5,5,7);
line(10,100,230,100);
line(125,10,125,190);
Godograf(Tpr[k],Ko[j],Kos[i],15,125,100,k,j,i,0);};
closegraph();
}
}
void
Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,
int Xc, int
Yc, int x, int y, int z, int err)
{
float P_w1=0.0, Q_w1=0.0,
P_w, Q_w,
To=0.5, Tg=0.1, P_w_min=0.0;
for(float w=0;w<=100;w=w+0.05){
if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){
P_w =
(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+
(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
Q_w =
(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-
Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
if
(abs(P_w)>abs(P_w1)) P_w1=P_w;
if
(abs(Q_w)>abs(Q_w1)) Q_w1=Q_w;
if (P_w<P_w_min)
P_w_min = P_w;
if (P_w1==0)
P_w1=P_w1+0.01;
if (Q_w1==0)
Q_w1=Q_w1+0.01;
};
};
float KmasX
=(float)(xmax-Xc-100)/P_w1,
KmasY =(float)(ymax-Yc-100)/Q_w1;
if (KmasX<0) KmasX=-KmasX; if
(KmasY<0) KmasY=-KmasY;
if (KmasX>=220) KmasX=150;
if (KmasY>=140) KmasY=100;
if (err==0) {KmasX=KmasX*4;
KmasY=KmasY*4;};
w = 0;
if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){
P_w =
KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+
(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
Q_w = KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-
Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
moveto(Xc+P_w,Yc-Q_w); };
setcolor(Color);
setcolor(9);
line(Xc+P_w_min*KmasX,10,Xc+P_w_min*KmasX,ymax-10);
gotoxy(2,5);
printf("K2=");
printf("%f",(-1/P_w_min));
setcolor(15);
for(w=0;w<=700;w=w+0.05){
if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){
P_w =
KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+
(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
Q_w = KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-
Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
lineto(Xc+P_w,Yc-Q_w);
};
};
setcolor(13);
circle(Xc-KmasX,Yc,2);
circle(Xc-KmasX,Yc,1);
putpixel(Xc-KmasX,Yc,13);
outtextxy(Xc-KmasX-7,Yc-12,"-1");
setcolor(15);
if (err==1){
if (x==0) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.01");
if (x==1) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.09");
if (x==2) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.2");
if (x==3) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.5");
if (y==0) outtextxy(10,30,"Ko = 10");
if (y==1) outtextxy(10,30,"Ko = 100");
if (z==0) outtextxy(10,50,"Koc = 0.1");
if (z==1) outtextxy(10,50,"Koc = 1.0");}
else {
char ch=' ';
while(ch!=27&&ch!=13)
if (kbhit()!=0)
ch=getch();};
};
void
Osi(int Xc, int Yc, int kol)
{
setcolor(15);
rectangle(0,0,xmax,ymax);
line(Xc,10,Xc,ymax-10);
line(10,Yc,xmax-10,Yc);
line((int)(xmax/2)-3,15,(int)(xmax/2),10);
line((int)(xmax/2),10,(int)(xmax/2)+3,15);
line(xmax-15,(int)(ymax/2)-3,xmax-10,(int)(ymax/2));
line(xmax-15,(int)(ymax/2)+3,xmax-10,(int)(ymax/2));
settextstyle(2,0,5);
outtextxy((int)(xmax/2)+7,10,"jQ(w)");
outtextxy(xmax-35,(int)(ymax/2)+7,"P(w)");
settextstyle(2,0,4);
outtextxy((int)(xmax/2)-8,(int)(ymax/2)+1,"0");
settextstyle(0,0,0);
if (kol==5)
outtextxy(5,ymax-15,"'Esc' - exit");
else
outtextxy(5,ymax-15,"'Enter' - next ");
setcolor(15);
};
Приложение N 2.
Рисунок N 1.1
Рисунок N 1.2
Рисунок 1.3
Рисунок 1.4
Рисунок 1.5
Рисунок 1.6
Рисунок 1.7
Рисунок 1.8
Рисунок 1.9
Рисунок 1.10
Рисунок 1.11
Рисунок 1.12
Рисунок 1.13
Рисунок 1.14
Вставка 1.15
Рисунок 1.16
Литература:
1.
Емильянов С.В., Системы автоматического управления с переменной структурой. -
М.: Наука, 1967.
2.
Воронов А.А.,Устойчивость управляемость наблюдаемость, Москва “Наука”, 1979.
3.
Хабаров В.С. Сранительная оценка методов исследования абсолютной устойчивости
СПС: Научн.-исслед. работа.
4.
Хабаров В.С. Нелинейные САУ: Курс лекций/ Записал В.Л.Смык,-1997.
Список постраничных ссылок:
1. Ла
Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова.-М.: Мир,
1964.-168 с.
2.
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. - Собр. соч.- М.: Изд-во АН
СССР, 1956, т. 2, с. 7-271.
|
