Динамическое представление данных
Р Е Ф Е
Р А Т
на
тему :
Динамическое представление сигналов “
Выполнил: Зазимко
С.А.
Принял : Котоусов А.С.
МОСКВА
Динамическое
представление сигналов.
Многие
задачи радиотехники требуют специфической формы представления сигналов. Для
решения этих задач необходимо располагать не только мгновенным значением
сигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его поведение в
прошлом” и “будущем”.
ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
Данный
способ получения моделей сигналов заключается в следующем:
Реальный сигнал представляется суммой некоторых
элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь,
если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в
пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания
сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым
развивающийся во времени характер процесса.
На
практике широкое применение нашли два
способа динамического представления.
Первый
способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции,
которые возникают через равные промежутки времени D . Высота каждой ступеньки
равна приращению сигнала на интервале времени D. В результате сигнал может быть представлен как на рисунке 1.
рис. 1
При втором
способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти
импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность,
вписанную в кривую или описанную вокруг нее .
В этом случае исходный сигнал имеет вид как на рисунке 2.
рис. 2
Теперь
рассмотрим свойства элементарных сигналов. Для начала : используемого для
динамического представления по первому способу.
ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Допустим имеется сигнал, математическая модель которого
выражается системой :
ì 0, t < -x,
u(t) = í
0.5(t/x+1), -x £ t £ x, (1)
î 1, t > x.
Такая функция
описывает процесс перехода
некоторого физического объекта
из “нулевого” в “единичное” состояние.
Переход
совершается по линейному закону за время 2x. Теперь если параметр x устремить к нулю, то в
пределе переход из одного состояния в другое
будет происходить мгновенно. Такая математическая модель предельного
сигнала получила название функции включения или
функции Хевисайда :
ì 0, t < 0,
s(t) = í 0.5, t = 0, (2)
î 1, t > 0.
В
общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета
времени на величину t0. Запись смещенной функции такова :
ì 0, t < t0,
s(t - t0) = í 0.5, t = t0, (3)
î 1, t > t0.
ДИНАМИЧЕСКОЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Рассмотрим
некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0
при t<0. Пусть {D,2D,3D,...} - последовательность моментов времени и
{S1,S2,S3,...} - отвечающая им
последовательность значений сигнала. Если начальное значение сигнала есть S0=S(0), то текущее значение
сигнала при любом t можно приближенно представить в виде суммы
ступенчатых функций :
¥
s(t)»s0s(t)+(s1-s0)s(t-D)+...=s0s(t)+å(sk-sk-1)s(t-kD).
k=1
· Если теперь шаг D устремить к нулю. то дискретную переменную kD можно заменить непрерывной переменной t. При этом малые приращения
значения сигнала превращаются в дифференциалы ds=(ds/dt)dt , и мы получаем формулу динамического представления
произвольного сигнала посредством функций Хевисайда
¥
ó ds
S(t)=s0 s(t) + ô s(t-t) dt (4)
õ dt
0
Переходя
ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами
разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие -
понятие дельта-функции.
ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ .
Рассмотрим
импульсный сигнал прямоугольной формы,
заданный следующим образом :
1 é x x ù
u(t;x) = ----- ê s (t + ---- )
- s (t - ---- )
÷ (5)
x ë 2 2 û
При
любом выборе параметра x
площадь этого импульса
равна единице :
¥
П = ò u dt = 1
- ¥
Например,
если u -
напряжение, то П = 1
В*с.
Теперь
устремим величину x к нулю. Импульс,
сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна
неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при x ® 0
носит название дельта-функции , или функции Дирака[1] :
d(t) =
lim u (t;x)
x®0
Дельта
функция - интересный математический объект. Будучи равной нулю всюдю, кроме
как в точке t = 0 [2]
дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом. А вот так выглядит символическое изображение
дельта-функции :
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.
Теперь
вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к
другу прямоугольных импульсов (рис.
2) . С помощью дельта-функции u (t)
представимо в виде совокупности примыкающих импульсов. Если
Sk
- значение сигнала на k - ом
отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется как :
hk(t) = Sk [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] (6)
В
соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма таких
элементарных слагаемых :
¥
S(t) = å h (t)
(7)
k= - ¥ k
В
этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что
удовлетворяет условию для t :
tk < t < tk+1
Теперь, если произвести подстановку формулы
(6) в (7) предварительно
разделив и умножив на величину шага D, то
¥ 1
S(t)
= å Sk --- [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] D
k=- ¥ D
Переходя
к пределу при D ® 0 , необходимо суммирование
заменить интегрированием по формальной переменной t, дифференциал которой dt ,будет отвечать величине D .
Поскольку
1
lim
[ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] ---
D®0 D
получим
искомую формулу динамического представления сигнала
¥
S (t) = ò s (t) d(t - t) dt
- ¥
Итак, если непрерывную функцию
умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению
непрерывной функции в той точке, где сосредоточен d - импульс. Принято
говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции.[3]
Из
определения дельта-функции следует (3)
. Следовательно, интеграл
дельта-функции от - ¥ до t есть единичный
скачок , и
дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка :
d(t) = 1’ (t) ;
d(t-t0) = 1’ (t-t0) .
Обобщенные
функции как математические модели сигналов.
В
классической математике полагают, что
функция S(t) должна принемать какие-то
значения в каждой точке оси t . Однако рассмотренная функция
d(t) не вписывается в эти рамки - ее значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный
интеграл. Возникает необходимость
расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике
была введено принципиально новое понятие
обобщенной функции.
В основе идеи обобщенной функции лежит
простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет ,
то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого
предмета на всевозможные плоскости.
Аналогом проекции исследуемой функции ¦(t) может служить, например,
значение интеграла
¥
ò ¦(t) j(t) dt (8)
- ¥
при
известной функции j(t) , которую называют пробной функцией.
Каждой
функции j(t) отвечает,
в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что
формула (8) задает некоторый функционал на множестве пробных функций j(t).
Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть
(¦, aj1 + bj2) = a(¦,j1) + b(¦,j2).
Если
этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве
пробных функций j(t) задана
обобщенная функция ¦(t) [4].
Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а
не как предел соответствующих интегральных сумм.
Обобщенные
фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами
классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.
И в
заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций
получила широкое развитие и многочисленные применения. На ее основе созданы математические методы
изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются
недостаточными.
Литература :
1. А. Л. Зиновьев, Л. И. Филипов
ВВЕДЕНИЕ В
ТЕОРИЮ СИГНАЛОВ
И ЦЕПЕЙ.
2. С. И. Баскаков РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ
И СИГНАЛЫ.
[1] Также эту функцию
называют единичной импульсной
функцией,
[2] Говорят, что дельта-функция сосредоточена в этой точке.
[3] Отсюда вытекает структурная схема систем, осуществляющей измерение мгновенных значений
аналогового сигнала S(t).
Система состоит из двух звеньев : перемножителя и интегратора.
[4] Обобщенные функции иногда называют также распределениями.
Р Е Ф
Е Р А Т
на
тему :
Динамическое представление сигналов “
Слушателя 727 группы Зазимко С.А.
Динамическое
представление сигналов.
Многие задачи радиотехники требуют специфической формы представления
сигналов. Для решения этих задач необходимо располагать не только мгновенным
значением сигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его поведение
в “прошлом” и “будущем”.
ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем.
Реальный сигнал представляется суммой некоторых
элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь,
если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в
пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания
сигналов называется динамическим
представлением , подчеркивая тем самым развивающийся во времени характер
процесса.
Широкое
применение нашли два способа динамического представления.
Первый
способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые
возникают через равные промежутки времени
D (рис. 1.1). Высота каждой
ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени D.
При
втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти
импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность,
вписанную в кривую или описанную вокруг нее (рис. 1.2).
рис 1.1 рис
1.2
Рассмотрим свойства элементарного сигнала, используемого для
динамического представления по первому способу.
ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ .
Допустим имеется сигнал,
математическая модель которого выражается системой :
ì 0, t < -x,
u(t)= í
0.5(t/x+1), -x £ t £ x, (1)
î 1,
t > x.
Такая функция
описывает процесс перехода
некоторого физического объекта
из “нулевого” в “единичное” состояние. Переход
совершается по линейному закону за время 2x. Если параметр x устремить к нулю, то в пределе переход из
одного состояния в другое будет
происходить мгновенно. Эта математическая модель предельного сигнала получила
название функции включения или
функции Хевисайда :
ì 0, t < 0,
s(t) = í 0.5, t = 0, (2)
î 1, t > 0.
В
общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета
времени на величину t0.
Запись смещенной функции такова :
ì 0, t < t0,
s(t - t0) = í 0.5, t = t0, (3)
î 1, t > t0.
ДИНАМИЧЕСКОЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО
СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ
ВКЛЮЧЕНИЯ.
Рассмотрим
некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0
при t<0. Пусть {D,2D,3D,...} - последовательность моментов времени и
{S1,S2,S3,...} - отвечающая им
последовательность значений сигнала. Если S0=S(0) - начальное значение, то текущее значение сигнала при любом
t приближенно равно сумме ступенчатых
функций :
¥
s(t)»s0s(t)+(s1-s0)s(t-D)+...=s0s(t)+å(sk-sk-1)s(tkD).
k=1
·
Если
теперь шаг D
устремить к нулю. то дискретную переменную kD можно заменить непрерывной переменной t. При этом малые приращения
значения сигнала превращаются в дифференциалы
ds = (ds/dt) dt , и
мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала
посредством функций Хевисайда
¥
ó ds
S(t)=s0 s(t)+ ô s(t-t) dt (4)
õ dt
0
Переходя
ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами
разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие.
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ
ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.
Рассмотрим
импульсный сигнал прямоугольной формы,
заданный следующим образом :
1
é x x ù
u(t;x) = -----
ê s (t + ---- )
- s (t - ---- )
÷ (5) x ë 2 2 û
При
любом выборе параметра x
площадь этого импульса равна единице :
¥
П = ò u dt = 1
- ¥
Например,
если u -
напряжение, то П = 1
В*с.
Пусть
теперь величина Е стремится к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь,
поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности
таких функций при x ® 0 носит название дельта-функции , или функции Дирака :
d(t) =
lim u (t;x)
x®0
Теперь
вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к
другу прямоугольных импульсов (рис. 2)
. Если
Sk - значение сигнала на k - ом отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется как :
hk(t) =
Sk [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] (6)
В
соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма таких
элементарных слагаемых :
¥
S(t) = å h (t)
(7)
k= - ¥ k
В
этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что
удовлетворяет условию для t :
tk < t < t k+1
Теперь, если произвести подстановку формулы
(6) в (7) предварительно
разделив и умножив на величину шага D, то
¥ 1
S(t) = å Sk --- [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] D
k=- ¥ D
Переходя
к пределу при D ® 0 , необходимо суммирование
заменить интегрированием по формальной переменной t, дифференциал которой dt ,будет отвечать величине D . Поскольку
1
lim
[ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] ---
D®0 D
получим
искомую формулу динамического представления сигнала
¥
S(t) = ò s (t) d(t - t) dt
- ¥
Итак, если непрерывную функцию
умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению
непрерывной функции в той точке, где сосредоточен d - импульс. Принято
говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции.[1]
Обобщенные
функции как математические модели сигналов.
В
классической математике полагают, что
функция S(t) должна принемать какие-то
значения в каждой точке оси t . Однако рассмотренная функция d(t) не вписывается в эти рамки - ее значение при t = 0
не определено вообще, хотя эта
функция и имеет единичный интеграл.
Возникает необходимость расширить понятие функции как математической
модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое
понятие обобщенной функции.
В основе идеи обобщенной функции
лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь
предмет , то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции
этого предмета на всевозможные плоскости.
Аналогом проекции исследуемой функции ¦(t) может служить, например, значение интеграла
¥
ò ¦(t) j(t) dt (8)
- ¥
при
известной функции j(t) ,
которую называют пробной функцией.
Каждой
функции j(t) отвечает, в свою очередь,
некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8)
задает некоторый функционал на множестве пробных функций j(t).
Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть
(¦, aj1 + bj2) = a(¦,j1) + b(¦,j2).
Если
этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве
пробных функций j(t) задана
обобщенная функция ¦(t) [2].
Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а
не как предел соответствующих интегральных сумм.
Обобщенные
фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами
классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.
И в заключение следует
сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций получила широкое
развитие и многочисленные применения.
На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для
которых средства классического анализа оказываются недостаточными.
[1] Отсюда вытекает структурная схема систем, осуществляющей измерение мгновенных значений
аналогового сигнала S(t).
Система состоит из двух звеньев : перемножителя и интегратора.
[2] Обобщенные функции иногда называют также распределениями.
|
