Алгоритм Кнута Морриса Пратта
Алгоритм Кнута - Морриса -
Пратта
Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта (КМП) получает
на вход слово
X=x[1]x[2]... x[n]
и просматривает его слева направо буква за
буквой, заполняя при этом массив натуральных чисел l[1]... l[n], где
l[i]=длина слова
l(x[1]...х[i])
(функция l определена в предыдущем пункте).
Словами: l[i] есть длина наибольшего начала слова x[1]...x[i], одновременно
являющегося его концом.
Какое отношение все это имеет к поиску
подслова?
Другими словами, как использовать алгоритм КМП
для определения того, является ли слово A подсловом слова B?
Решение.
Применим алгоритм КМП к слову A#B, где # - специальная буква, не встречающаяся
ни в A, ни в B. Слово A является подсловом слова B тогда и только тогда, когда
среди чисел в массиве l будет число, равное длине слова A.
Описать алгоритм заполнения таблицы
l[1]...l[n].
Решение.
Предположим, что первые i значений l[1]...l[i] уже найдены. Мы читаем очередную
букву слова (т.е. x[i+1]) и должны вычислить l[i+1].
Другими словами, нас интересуют начала Z слова
x[1]...x[i+1,
одновременно являющиеся его концами -из них нам
надо брать самое длинное. Откуда берутся эти начала? Каждое из них (не считая
пустого) получается из некоторого слова Z' приписыванием буквы x[i+1] . Слово
Z' является началом и
концом слова x[1]...x[i]. Однако не любое слово,
являющееся началом и концом слова x[1]...x[i], годится - надо, чтобы за ним
следовала буква x[i+1].
Получаем такой рецепт отыскания слова Z. Рассмотрим все начала слова
x[1]...x[i], являющиеся одновременно его концами. Из них выберем подходящие -
те, за которыми идет буква x[i+1]. Из подходящих выберем самое длинное.
Приписав в его конец х[i+1], получим искомое слово Z. Теперь пора
воспользоваться сделанными нами приготовлениями и вспомнить, что все слова, являющиеся
одновременно началами и концами данного слова, можно получить повторными
применениями к нему функции l из предыдущего раздела.
Вот
что получается:
i:=1; 1[1]:=0;
{таблица l[1]..l[i]
заполнена правильно}
while i <> n do
begin
len:= l[i]
{len - длина начала
слова x[1]..x[i], которое является
его концом; все более
длинные начала оказались
неподходящими}
while
(x[len+1]<>х[i+1]) and (len>0) do begin
{начало не подходит,
применяем к нему функцию l}
len:=l[len];
end;
{нашли подходящее или убедились
в отсутствии}
if x[len+1]=x[i+1] do
begin
{х[1]..x[len] - самое
длинное подходящее начало}
l[i+1]:=len+1;
end else begin
{подходящих нет}
l[i+1]:= 0;
end;
i:=i+1;
end;
Доказать, что число действий в
приведенном только что алгоритме не превосходит Cn для некоторой константы C.
Решение.
Это не вполне очевидно: обработка каждой очередной буквы может потребовать
многих итераций во внутреннем цикле. Однако каждая такая итерация уменьшает len
по крайней мере на 1, и в этом случае l[i+1] окажется заметно меньше l[i]. С
другой стороны, при увеличении i на единицу величина l[i] может возрасти не
более чем на 1, так что часто и сильно убывать она не может - иначе убывание не
будет скомпенсировано возрастанием.
Более точно, можно записать неравенство
l[i+1]<l [i] - (число итераций на i-м шаге)+1
или
(число итераций на i-м шаге)<= l[i]-l[i+1]+1
Остается сложить эти неравенства по всем i и
получить оценку
сверху для общего числа итераций.
Будем использовать этот алгоритм, чтобы
выяснить, является ли слово X длины n подсловом слова Y длины m. (Как это
делать с помощью специального разделителя #, описано выше.) При этом число
действий будет не более C(n+m}, и используемая память тоже. Придумать, как
обойтись памятью не более Cn (что может быть существенно меньше, если искомый
образец короткий, а слово, в котором его ищут - длинное).
Решение.
Применяем алгоритм КМП к слову А#В. При этом: вычисление значений l[1],...,l
[n] проводим для слова X длины n и запоминаем эти значения. Дальше мы помним
только значение l[i] для текущего i - кроме него и кроме таблицы
l[1]...l[n], нам для вычислений ничего не нужно.
На
практике слова X и Y могут не находиться подряд, поэтому просмотр слова X и
затем слова Y удобно оформить в виде разных циклов. Это избавляет также от
хлопот с разделителем.
Написать соответствующий алгоритм
(проверяющий, является ли слово X=x[1]...x[n] подсловом слова Y=y[1]...y[m]
Решение.
Сначала вычисляем таблицу l[1]...l[n]как раньше. Затем пишем такую программу:
j:=0; len:=0;
{len - длина
максимального качала слова X, одновременно
являющегося концом слова
y[1]..j[j]}
while (len<>n)
and (j<>m) do begin
while
(x[len+1]<>у[j+1]) and (len>0) do begin
{начало не подходит,
применяем к нему функцию l}
len: = l[len];
end;
{нашли подходящее или
убедились в отсутствии}
if x[len+1]=y[j+1] do
begin
{x[1]..x[len] - самое
длинное подходящее начало}
len:=len+1;
end else begin
{подходящих нет}
len:=0;
end;
j:=j+1;
end;
{если len=n, слово X
встретилось; иначе мы дошли до конца
слова Y, так и не
встретив X}
Алгоритм Бойера - Мура
Этот
алгоритм делает то, что на первый взгляд кажется невозможным: в типичной
ситуации он читает лишь небольшую часть всех букв слова, в котором ищется
заданный образец. Как так может быть? Идея проста. Пусть, например, мы ищем
образец abcd. Посмотрим на четвертую букву слова: если, к примеру, это буква e,
то нет никакой необходимости читать первые три буквы. (В самом деле, в образце
буквы e нет, поэтому он может начаться не раньше пятой буквы.)
Мы
приведем самый простой вариант этого алгоритма, который не гарантирует быстрой
работы во всех случаях. Пусть x[1]...х[n] - образец, который надо искать. Для
каждого символа s найдем самое правое его вхождение в слово X, то есть
наибольшее k, при котором х[k]=s. Эти сведения будем хранить в массиве pos[s];
если символ s вовсе не встречается, то нам будет удобно положить pos[s]=0 (мы
увидим дальше, почему).
Как заполнить массив pos?
Решение.
положить все pos[s] равными 0
for i:=1 to n do begin
pos[x[i]]:=i;
end;
В процессе поиска мы будем хранить в переменной
last номер буквы в слове, против которой стоит последняя буква образца. Вначале
last=n (длина образца), затем last постепенно увеличивается.
last:=n;
{все предыдущие
положения образца уже проверены}
while
last<= m do begin {слово не кончилось}
if x[m]<>y[last] then begin
{последние буквы разные}
last:=last+(n-pos[y[last]]);
{n - pos[y[last]] - это минимальный
сдвиг образца,
при котором напротив y[last]
встанет такая же
буква в образце. Если такой
буквы нет вообще,
то сдвигаем на всю длину
образца}
end else begin
если нынешнее
положение подходит, т.е. если
x[i]..х[n]=y[last-n+1]..y[last],
то сообщить о совпадении;
last:=last+1;
end;
end;
Знатоки рекомендуют проверку совпадения
проводить справа налево, т.е. начиная с последней буквы образца (в которой
совпадение заведомо есть). Можно также немного сэкономить, произведя вычитание заранее
и храня не pos[s], а n-pos[s],
т.е. число букв в образце справа от последнего
вхождения буквы Возможны разные модификации этого алгоритма. Например, можно
строку
last:=last+i
заменить на
last:=last+(n-u),
где u - координата второго справа вхождения
буквы x[n] в образец.
Как
проще всего учесть это в программе
Решение. При построении таблицы pos написать
for i:=1 to n-1 do...
(далее как раньше), а в основной программе
вместо
last:=last+1
написать
last:=last+n-pos[y[last]];
Приведенный упрощенный вариант алгоритма
Бойера-Мура в некоторых случаях требует существенно больше n действий (число
действий порядка mn), проигрывая алгоритму Кнута-Морриса-Пратта.
Пример
ситуации, в которой образец не входит в слово, но алгоритму требуется
порядка mn действий, чтобы это установить.
Решение.
Пусть образец имеет вид baaa... aa, а само слово состоит только из букв а.
Тогда на каждом шаге несоответствие выясняется лишь в последний момент.
Настоящий (не упрощенный) алгоритм Бойера-Мура
гарантирует, что число действий не превосходит C(m+n) в худшем случае. Он
использует идеи, близкие к идеям алгоритма Кнута-Морриса-Пратта. Представим
себе, что мы сравнивали образец со входным словом, идя справа налево. При этом
некоторый кусок Z (являющийся концом образца) совпал, а затем обнаружилось
различие: перед Z в образце стоит не то, что во входном слове. Что можно
сказать в этот момент о
входном слове? В нем обнаружен фрагмент, равный
Z, а перед ним стоит не та буква, что в образце. Эта информация может позволить
сдвинуть образец на несколько позиций вправо без риска пропустить его
вхождение. Эти сдвиги следует вычислить заранее для каждого конца Z нашего
образца. Как говорят знатоки, все это (вычисление таблицы сдвигов и ее
использование) можно уложить в C(m+ n) действий.
Алгоритм Рабина
Этот
алгоритм основан на простой идее. Представим себе, что в слове длины m мы ищем
образец длины n. Вырежем окошечко размера n и будем двигать его по входному
слову. Нас интересует, не совпадает ли слово в окошечке с заданным
образцом. Сравнивать по буквам долго. Вместо
этого фиксируем некоторую функцию, определенную на словах длины n. Если
значения этой функции на слове в окошечке и на образце различны, то совпадения
нет. Только если значения одинаковы, нужно проверять совпадение по буквам.
В
чем выигрыш при таком подходе. Казалось бы, ничего - ведь чтобы вычислить
значение функции на слове в окошечке, все равно нужно прочесть все буквы этого
слова. Так уж лучше их сразу сравнить с образцом. Тем не менее выигрыш
возможен, и вот за счет чего. При сдвиге окошечка слово не меняется полностью,
а лишь добавляется буква в конце и убирается в начале. Хорошо бы, чтобы по этим
данным можно было рассчитать, как меняется функция.
Привести пример
удобной для вычисления функции.
Решение.
Заменим все буквы в слове и образце их номерами, представляющими собой целые
числа. Тогда удобной функцией является сумма цифр. (При сдвиге окошечка нужно
добавить новое число и вычесть пропавшее.)
Для
каждой функции существуют слова, к которым она применима плохо. Зато другая
функция в этом случае может работать хорошо. Возникает идея: надо запасти много
функций и в начале работы алгоритма выбирать из них случайную. (Тогда враг, желающий подгадить нашему
алгоритму, не будет знать, с какой именно функцией ему бороться.)
Привести пример семейства удобных
функций.
Решение.
Выберем некоторое число p (желательно простое, смотри далее) и некоторый вычет
x по модулю p. Каждое слово длины n будем рассматривать как последовательность
целых чисел (заменив буквы кодами). Эти числа будем рассматривать как
коэффициенты многочлена степени n-1 и вычислим значение этого многочлена по
модулю p в точке x. Это и будет одна из функций семейства (для каждой пары p и
x получается, таким образом, своя функция). Сдвиг окошка на 1 соответствует
вычитанию старшего члена (хn-1 следует вычислить заранее), умножению
на x и добавлению свободного члена.
Следующее соображение говорит в пользу того, что совпадения не слишком
вероятны. Пусть число p фиксировано и к тому же простое, а X и Y - два
различных слова длины n. Тогда им соответствуют различные многочлены (мы
предполагаем, что коды всех букв различны - это возможно, если p больше числа
букв алфавита). Совпадение значений функции означает, что в точке x эти два
различных многочлена совпадают, то есть их разность обращается в 0. Разность
есть многочлен степени n-1 и имеет не более n-1 корней. Таким образом, если и
много меньше p, то случайному x мало шансов попасть в неудачную точку.
|
