Методы оптимизации портфеля бескупонных облигаций
Содержание.
Введение. 2
Глава 1. Методика расчета доходности по простым и сложным процентам. 3
Глава 2. Расчет доходности портфеля к погашению и к приобретению. 4
Глава 3. Оценка эффективности вложений. 6
Глава 4. Формулировка и экономическая интерпретация задачи о перевложениях.
9
Заключение. 13
Приложение 1. СОЛ-индекс ГКО. Методика расчета и рекомендации по
использованию 14
Приложение 2. SOBI-GKO-yield (обобщенный индекс ГКО). Методика расчета и
рекомендации по использованию 18
Приложение 3. Оценка между точным решением и приближенным значением.
21
Приложение 4. Проверка метода на случайной выборке. 23
Приложение 5. Последние цены и эффективная доходность к погашению на рынке
РКО с 1 по 30 апреля 1997 г. 31
Список литературы. 34
Введение.
Данная работа посвящена оптимизации, в смысле увеличения стоимости,
портфеля ГКО(РКО). ГКО - государственная краткосрочная бескупонная
облигация( соответственно, РКО - республиканская краткосрочная бескупонная
облигация), источником дохода по ней является разница между ценой покупки и
ценой продажи(дисконт). Первичное размещение облигаций производится
Минфином РФ(Минфином РТ). В настоящее время это наиболее ликвидные и
доходные ценные бумаги. За время своей «жизни» эти облигации проходят 3
этапа: первичное размещение(аукцион), вторичные торги, погашение. На
вторичных торгах устанавливается рыночная цена облигации на каждый день.
Колебания курсов облигаций различных серий в зависимости от экономической
конъюнктуры спроса-предложения бывают значительны, что позволяет получить
дополнительную прибыль путем спекуляции на фондовой бирже.
В предложенной работе рассмотрены общие принципы «игры» на вторичном
рынке путем покупки наиболее доходных серий и продажи наименее доходных.
Предлагаемая здесь методика является всего лишь гипотезой, которая на
практике обычно дает положительный эффект, но связана с некоторыми
трудностями при формировании оптимального портфеля. Сначала будут изложены
общие сведения о методах определения доходности с помощью простых и сложных
процентов и оценке эффективности вложений, затем будет сформулирована
задача «О перевложениях» и дана ее экономическая интерпретация.
Глава 1. Методика расчета доходности по простым и сложным процентам.
Простые проценты
[pic]
(1.1)
[pic] - первоначальная сумма
[pic] - сумма к концу срока
[pic] - ставка процентов
[pic] - количество периодов(в годах)
Следовательно, годовая ставка [pic]
(1.1’)
Сложные проценты.[pic]
[pic]
(1.2)
[pic] - первоначальная сумма
[pic] - сумма к концу срока
[pic] - ставка процентов
[pic]- количество периодов(в годах)
Годовая ставка по сложным процентам [pic]
(1.2’)
Формула сложных процентов с учетом реинвестирования
[pic] (1.3)
Следовательно, [pic]
(1.3’)
[pic] - первоначальная сумма
[pic] - сумма к концу срока
[pic] - ставка процентов(эффективная годовая приведенная к периоду T)
[pic] - период инвестирования(в днях)
[pic]- период реинвестирования(в днях)
Данная формула является основной при финансовых расчетах. Если положить
T=30 дней, то она представляет собой эффективную доходность, приведенную к
месяцу. Это дает возможность сравнивать эффективность операций с
облигациями с операциями по другим источникам доходов.
Глава 2. Расчет доходности портфеля к погашению и к приобретению.
Доходностью к погашению i-ой серии назовем годовую ставку i из формулы
(1.1’), обозначим Дi
Эффективной доходностью к погашению, приведенную к периоду T, назовем
эффективную ставку из формулы (1.3’), обозначим Дiэф
Доходность портфеля к погашению R определим из уравнения.
[pic]
(2.1)
где [pic]
[pic] - совокупные вложения
[pic]- количество облигаций i-ой серии
[pic]- цена облигации i-ой серии
[pic]- стоимость облигаций i-ой серии по номиналу
[pic]=[pic] * номинал
номинал = 1 000 000 рублей(для ГКО и РКО)
[pic]- количество дней до погашения от даты приобретения
N - количество серий облигаций
Тогда, решив нелинейное уравнение (2.1) , получим R - доходность
портфеля к погашению.
Уравнение (2.1) - это точный метод определения доходности портфеля к
погашению, но можно пользоваться другим методом, который, с точки зрения
применения, является более удобным и дает приемлемые результаты (Разница
между точным решением и приближенном на практике составляет не более 0,05%;
см. Приложение 3).
Таким образом определим средневзвешенную доходность портфеля к
погашению. Взвешивание произведем по объему и времени по простым процентам.
[pic]
(2.2)
[pic] - средневзвешенная доходность к погашению
[pic] - количество бумаг i-ой серии в портфеле
[pic] - число дней от даты приобретения до даты погашения i-ой
серии
[pic] - доходность к погашению i-ой серии от даты приобретения( по
простым процентам).
Соответственно, расчет по сложным процентам(по эффективной ставке).
[pic] (2.3)
Определим дюрацию портфеля - средневзвешенное время погашения портфеля,
как:
[pic] (2.4)
[pic] - доходность к погашению i-ой серии
[pic] - число дней до погашения i-ой серии от даты приобретения
[pic] - количество бумаг i-ой серии
[pic] - цена покупки облигации i-ой серии
Формулы для расчета доходности к приобретению(какая будет доходность от
даты приобретения, если продать облигацию в текущий момент по рыночной
цене) аналогичны (2.2) и (2.3), за исключением того, что здесь ti -
период(в днях) от даты приобретения до текущей даты.
Примечание.
Облигации одной и той же серии могут быть приобретены в разные моменты
времени, поэтому в расчетных формулах необходимо учитывать их как отдельные
серии, следовательно, количество серий в расчетных формулах может быть
больше, чем реальное количество выпусков, находящихся в обращении.
Глава 3. Оценка эффективности вложений.
Непременным атрибутом формирования оптимального портфеля является
оценка эффективности вложений. Эта методика может быть различной в
зависимости от целей инвестирования. К примеру, одной из целей является
получение определенного дохода в каждый период всего срока инвестирования;
в этом случае нужно подходить к оценке вложений с точки зрения дюрации
портфеля - здесь дюрация играет значительную роль, хотя и не главную;
другая из целей инвестирования - получение максимального дохода к концу
срока инвестирования - в этом случае дюрацией можно пренебречь и исходить
только из доходности. В первом случае обычно производится инвестирование на
длительный срок с целью получения постоянного дохода, а во втором случае -
инвестирование на более короткий срок - цель: максимизация дохода. Хотя эти
2 варианта инвестирования кажутся различными, но, фактически, 2-ой метод
включает первый: можно в короткий срок получить доход и реинвестировать его
еще раз и так далее. Здесь видны преимущества второго метода - можно
пренебречь дюрацией портфеля, которая уменьшает доходность за счет того,
что часть средств находится в менее доходных сериях.
Приведем три различные методики оценки эффективности вложений.
1. Расчет доходности к приобретению за определенный срок.
Расчет доходности к приобретению за определенный срок с учетом ввода-вывода
денежных средств.
3. Расчет доходности к приобретению за определенный срок с учетом ввода-
вывода денежных средств(метод предложен в журнале РЦБ, см. Список
литературы (3)).
Каждая методика состоит из двух этапов:
1. Нахождение величины доходности портфеля к приобретению на текущий день
от некоторой зафиксированной даты.
2. Сравнение доходности портфеля к приобретению с некоторым рыночным
показателем. В качестве такого показателя можно брать СОЛ-индекс рынка
или обобщенную доходность рынка к погашению(см. Приложения 1 и 2).
Для простоты сначала рассмотрим первую методику:
Определим стоимость портфеля следующим образом:
[pic]
(3.1)
[pic]
(3.2)
где:
[pic] - стоимость портфеля на начало периода
[pic] - цена i-ой серии облигации на начало периода
[pic] - количество облигаций i-ой серии на начало периода
[pic] - денежные средства в момент [pic] соответственно
[pic] - момент начало периода
[pic] - момент окончания периода
[pic] - соответственно на конец периода
Тогда доходность вложений можно определить по следующей формуле:
[pic] (по формуле простых процентов) (3.3)
Рассмотрим методику расчета доходности портфеля к приобретению с учетом
ввода-вывода. Сложность заключается в том, что в течение периода
инвестирования происходит ввод-вывод средств в портфель. Этот случай часто
встречается на практике, поэтому данный метод оценки является с
практической точки зрения наиболее актуальным.
Разобьем весь период инвестирования на периоды, границами которых
являются моменты ввода-вывода средств. Пусть вводу-выводу средств
соответствует время t0,...,tn+1, где t1,...,tn - моменты ввода-вывода
средств в середине периода инвестирования, t0=t,tn+1=T - начальный и
конечный моменты периода инвестирования.
Тогда определим стоимость портфеля в каждый момент ввода-вывода средств
как:
[pic]
(3.4)
[pic]
(3.5)
где:
[pic] - рыночная цена облигации i-ой серии в момент tj
[pic] - количество бумаг i-ой серии в портфеле соответственно до ввода-
вывода средств и после
[pic] - денежные средства в момент [pic] соответственно
[pic] - стоимость портфеля соответственно до ввода-вывода средств и
после
Определим доходность к приобретению между моментами ввода-вывода
средств как:
[pic] [pic] (3.6)
Тогда доходность всего портфеля можно определить следующим образом:
[pic] (3.7)
Рассмотрим методику оценки эффективностью управления портфелем,
предложенную в журнале РЦБ(см. Список литературы(3)).
Предлагаемая методика рассматривает доходность портфеля(с учетом
потоков ввода-вывода средств) в сравнении со среднерыночной доходностью,
рассчитанной методом индексов. Расчетные формулы выглядят следующим
образом:
[pic]
(3.8)
где I - сводный индекс рынка ГКО нарастающим итогом(например, по
методике расчета СОЛ-индекса);T0 - длительность отчетного периода.
Доходность портфеля за отчетный период с учетом ввода-вывода средств, %
годовых.
[pic] (3.9)
[pic] - соответственно конечная и начальная сумма активов в портфеле
ГКО, рассчитанная по средневзвешенным ценам выпусков(включая остаток
лицевого счета)
[pic]- сумма ввода(вывода), при вводе средств mi>0, при выводе mi<0
[pic]- продолжительность периода от момента ввода(вывода) до даты
окончания отчетного периода.
Дополнительная прибыль - разность между абсолютной фактической прибылью
портфеля и условной прибылью «среднерыночного» портфеля с аналогичным
потоком вводов-выводов.
[pic]
(3.10)
где [pic] - фактическая прибыль портфеля за отчетный период
[pic] (3.11)
Пср - условная прибыль портфеля с аналогичной начальной суммой и
потоком ввода-вывода, обладающего среднерыночной доходностью за базовый
период(среднерыночная прибыль)
[pic] (3.12)
Глава 4. Формулировка и экономическая интерпретация задачи о перевложениях.
Оптимизация портфеля ГКО - очень сложная задача. Здесь не известны цены
на будущий период и их сложно прогнозировать. В связи с этим возникают
сложности при оптимизации; перед инвестором встают следующие вопросы: какой
портфель считать лучшим, как вкладывать средства для максимизации прибыли,
как спрогнозировать цены.
В данной работе не ставится задача прогноза цен, но будет сделана
попытка увеличить стоимость портфеля, исходя из известных величин. Так как
во время торгов устанавливаются цены покупок и продаж, то можно покупать
одни серии облигаций и продавать другие по определенной методике, которая
ведет к увеличению стоимости портфеля(локальная оптимизация).
Поставим задачу оптимизации следующим образом. Будем оптимизировать
стоимость портфеля в каждый день, т.е. :
[pic]
На время t1 получим некоторый портфель стоимостью [pic]
Оценить эффективность управления портфелем можно по формулам
(3.3),(3.7),(3.9).
Предлагается следующая методика:
1. Вычислить эффективную доходность всех серий, обращающихся на рынке,
приведенную к месячной, с учетом комиссии биржи и налога на ценные
бумаги.
2. Выбрать ту серию, которая имеет максимальную эффективную доходность и
ту серию, которая имеет минимальную и содержится в портфеля.
3. Если минимальная доходность меньше максимальной на некоторое
пороговое значение [pic], то продать серию с минимальной доходностью
и купить серию с максимальной доходностью. [pic] - задается
инвестором; чем больше значение [pic], тем более эффективная
операция. Рассматривался случай при [pic]=1.
Пример 1.
Пусть есть 2 серии, период инвестирования 30 дней. Начальная сумма
инвестирования 100000000. Время до погашения 1-ой серии 40 дней 2-ой -
60 дней.
Данные по доходности на базовые моменты времени представлены в таблице
1.
|День 1 |День 11 |День 21 |День 26 |День 31 |
|P1=96,97 |P1=97,72 |P1=98,31 |P1=98,65 |P1=99,26 |
|Д1=28 |Д1=28 |Д1=31 |Д1=33 |Д1=27 |
|P2=95,18 |P2=96,36 |P2=96,55 |P2=97,16 |P2=97,72 |
|Д2=30 |Д1=27 |Д2=32 |Д2=30 |Д2=28 |
Таблица 1. Цены и доходность для примера 1.
Результаты представим в таблице 2.
|День |Покупка |Продажа |Остаток денег|
|1 |Серия2 | |61000 |
| |Кол-во 105 | | |
|11 |Серия1 |Серия2 |587400 |
| |Кол-во 103 |Кол-во 105 | |
|21 |Серия2 |Серия1 |469200 |
| |Кол-во 105 |Кол-во 103 | |
|26 |Серия1 |Серия2 |877700 |
| |Кол-во 103 |Кол-во 105 | |
|31 | |Серия2 |103115500 |
| | |Кол-во 105 | |
Таблица 2. Результаты для примера 1.
В результате получили доходность к приобретению =
[pic]
Если вначале вложить все средства во 2-ю серию и ждать до конца
периода, то получили бы сумму = 102667000
Соответствующая доходность к приобретению =
[pic]
Следовательно, для данного примера метод дает положительный результат.
Пример 2.
Проанализируем метод на реальных данных. В Приложении 5 приведены
последние цена и эффективная доходность, приведенная к месячной с учетом
налога с доходов по ценным бумагам и с учетом комиссии биржи с 1 по 30
апреля 1997 по вторичным торгам на рынке РКО. Пусть в начальный момент
времени есть консервативный портфель: количество бумаг каждой серии 100
штук(за исключением тех серий, которые размещаются в апреле). Начальная
сумма денег = 0. Пусть каждый день может совершается только одна операция
продажи-покупки. Придерживаясь предложенного метода получим следующие
результаты(см. Таблицу 3) (в ячейках таблицы - количество бумаг на конец
дня):
[pic]
Таблица 3. Результаты для примера 3.
Стоимость портфеля на начало периода (на 1 апреля): 719970000 рублей
Стоимость портфеля на конец периода (на 30 апреля): 855827340 рублей
Соответствующая доходность к приобретению:
[pic]
Стоимость портфеля на конец периода учета перевложения(серия 21020
перевложена на аукционе 10.04.97 в 21022 по цене отсечения, 22004
перевложена в 22010 24.04.97 по цене отсечения): 851086169
Соответствующая доходность к приобретению:
[pic]
Следовательно предложенная методика дала на 8 пунктов больший
результат, в абсолюте: 4741171 рублей дополнительной прибыли.
В работе также приведены результаты проверки метода на случайной
выборке(см. Приложение 4).Ставилась следующая задача: доходность изменяется
в пределах 28-32% случайным образом каждый день. Задано время до погашения
каждой бумаги. В программе рассмотрено 6 вариантов.
1. Задана начальная сумма денег = 2 млрд. Руб., далее инвестирование по
методике.
2. Задан консервативный портфель, далее инвестирование по методике.
3. Задана начальная сумма денег = 2 млрд. Руб., доходность падает с
каждым днем на 1%, далее инвестирование по методике.
4. Задан консервативный портфель, доходность падает с каждым днем на 1%,
далее инвестирование по методике.
5. Задана начальная сумма денег = 2 млрд. Руб., доходность растет с
каждым днем на 1%, далее инвестирование по методике.
6. Задан консервативный портфель, доходность растет с каждым днем на 1%,
далее инвестирование по методике.
Получены следующие результаты(см. Таблицу 4):
|№ |Начальная |Конечная стоимость |Конечная |
|варианта |стоимость(руб.) |без |стоимость по |
| | |перевложений(руб.) |Методу(руб.) |
|1 |1997700000 |2045070000 |2075380000 |
|2 |705660000 |719250000 |791300000 |
|3 |1997420000 |2037000000 |2088280000 |
|4 |706760000 |774250000 |812590000 |
|5 |1997820000 |1884250000 |2084440000 |
|6 |707670000 |673670000 |739440000 |
Таблица 4. Результаты проверки метода на случайной выборке.
Заключение.
В работе изложены базовые сведения для работы с ГКО: доходность к
погашению, доходность к приобретению, расчет доходности портфеля, метод
оценки эффективности управления портфелем облигаций.
Также была предложена методика максимизации прибыли за определенный
период.
Рассмотренная здесь методика имеет как преимущества, так и недостатки.
Преимущества метода:
n Позволяет получить большую прибыль по сравнению с консервативным
портфелем;
n Простота применения.
Недостатки метода:
n Срок инвестирования запланирован, т.е. закреплено время окончания; но
может быть так, что спрос на бумагу, в которую вложены все средства,
в конце периода недостаточен для продажи, в связи с этим
неликвидность операции(как правило, для больших объемов; для РКО
свыше 1000 бумаг).
Эта методика - всего лишь первый шаг, но очень важный при оптимизации
портфеля. Далее можно строить модели прогнозирования цен на вторичных
торгах, прогноз цены отсечения на аукционе с помощью матстатистики и теории |
