Плоская задача теории упругости
Плоская задача теории упругости
Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина, толщина которой 1 см, размеры в плане 20х20 см.
Схема закрепления пластины.
Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой
Ф (х,у)=а
1
х
3
у+а
2
х
3
+а
3
х
2
у+а
4
х
2
+а
5
ху+а
6
у
2
+а
7
ху
2
+а
8
у
3
+а
9
ху
3
Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.
Найти общие выражения для напряжений
s
х
,
s
у
,
t
ху (объемные силы не учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.
Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(на миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу.
Расчет.
Дано
: а
3
=1/3, а
4
= 1 Е=0,69*10
6 кг/см
2
n
=0,33
Решение
:
1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению.
Ф(х,у)=
Поскольку производные
-бигармоническое уравнение удовлетворяется.
2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными нулю.
s
х
=
s
у
=
t
ху
=
3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическим напряжениям.
4.Проверяем равновесие пластины
Уравненения равновесия:
S
х=0 -Т
5
+Т
6
=0 > 0=0
S
y=0 Т
4
+Т
3
+Т
2
-Т
1
-N
2
+N
1
=0 > 0=0
S
M=0 M (T
4
T
3
)=-M(T
2
T
1
) > 0=0
удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии.
5.Для точки А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А.
В этой точке напряжения в основных площадках.
s
х
=0,
s
у
=-1,33,
t
ху
=3,33,
Найдем главное напряжение по формуле:
=-0,665
±
3,396 кгс/см
2
s
max
=
s
I
=2,731 МПа
s
min
=
s
II
= -4,061 МПа
Находим направление главных осей.
a
I
=39,36
o
a
II
=-50,64
o
6.Определяем компоненты деформации
7.Находим компоненты перемещений
Интегрируем полученные выражения
j
(у),
y
(х) –некоторые функции интегрирования
или
После интегрирования получим
где с
1 и с
2 – постоянные интегрирования
С учетом получения выражений для
j
(у) и
y
(х) компоненты перемещений имеет вид
Постоянные с
1
, с
2
, и с определяем из условий закрепления пластины:
1)
v =0 или
2) v =0 или
3) u =0 или
Окончательные выражения для функций перемещений u и v
Покажем деформированное состояние пластины определив для этого перемещение в 9-ти точках.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
координаты
Х(см)
-10
0
10
10
10
0
-10
-10
0
У(см)
10
10
10
0
-10
-10
-10
0
0
V*10
-4
3,8
0,77
0,58
-0,19
0
0,19
3,2
3,1
0
U*10
-4
-3,1
-3,5
-3,9
-1,9
0
-0,23
-0,45
-1,8
-1,9 Масштаб
длин: в 1см – 2см
перемещений: в 1см - 1*10
-4
см
|
