Эффективные характеристики случайно неоднородных сред
Введение
Решающую роль в
восприятии окружающего мира играют характеристики, сохраняющиеся (в замкнутых
системах). Среди них имеются такие универсальные, как масса, количество
движения, момент количества движения, энергия и энтропия.
В учении о
теплообмене рассматриваются процессы распространения теплоты в твердых, жидких
и газообразных телах. Эти процессы по своей физико-механической природе весьма
многообразны, отличаются большой сложностью и обычно развиваются в виде целого
комплекса разнородных явлений.
Перенос теплоты
может осуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением,
или радиацией. Эти формы глубоко различны по своей природе и характеризуются
различными законами.
Процесс переноса
теплоты теплопроводностью происходит между непосредственно соприкасающимися
телами или частицами тел с различной температурой. Учение о теплопроводности
однородных и изотропных тел опирается на весьма прочный теоретический
фундамент. Оно основано на простых количественных законах и располагает хорошо
разработанным математическим аппаратом. Теплопроводность представляет собой,
согласно взглядам современной физики, молекулярный процесс передачи теплоты.
При определении
переноса теплоты теплопроводностью в реальных телах встречаются известные
трудности, которые на практике до сих пор удовлетворительно не решены. Эти
трудности состоят в том, что тепловые процессы развиваются в неоднородной
среде, свойства которой зависят от температуры и изменяются по объему; кроме
того, трудности
возникают с увеличением сложности конфигурации системы.
Уравнение теплопроводности
имеет вид:
(1)
выражает тот факт, что
изменения теплосодержания определенной массы вещества, заключенного в единице
объема, определяется различием между притоком и вытеканием энергии - дивергенцией плотности теплового потока , при условии что внутренних источников энергии нет. Тепловой
поток пропорционален градиенту температуры и направлен в сторону ее падения; - коэффициент теплопроводности.
При разработке методов
иследования композиционных материалов весьма трудно и, по-видимому, не имеет
смысла (в тех случаях, когда это можно практически реализовать) полностью
учитывать структуру копмозита. В связи с этим возникла необходимость связать
механику композитных материалов с механизмами элементов конструкций,
развивающимися обычно в рамках континуальных процессах. Эта задача решается в
процессе создания теории определения приведенных свойств композитных материалов
различных структур (слоистые, волокнистые и др.), при описании их поведения в
рамках континуальных представлений. Таким образом совершается переход от
кусочно-однородной среды к однофазной.
Рассмотрим двухфазный
композитный материал, представляющий собой матрицу, в которой случайным образом
распределены включения второй фазы (армирующий элемент), имеющий приблизительно
равноосную форму. Количество включений достаточно велико на участке изменения
температуры. Пусть некая характеристика матрицы - , а включений - . Тогда можно представить композит, как новый материал, с
характеристиками промежуточными между характеристиками матрицы и включений,
зависящей от объемной доли этих фаз.
, (2)
Где
Подстановка (2) в (1) дает:
(3)
Имеем операторы:
(4а)
(4б)
После
преобразования Фурье получаем
Уравнение
для функции Грина и
где (5)
- ур. Дайсона. (6)
Функция Грина описывает однородный материал со средними характеристиками
определяемые по правилу смесей (2), а
оператор можно назвать
оператором возмущения, поскольку он определяет форму и расположение
неоднородностей.
Решим
уравнение итерациями
Вычислим
сначала
Здесь
(7)
Теперь
определим
Теперь
необходимо вычислить
Таким
образом
(8)
Подставляем
в (6) равенство (8)
, где и (9)
Подставляем
(5) в (9)
где и
(10)
(11)
где , (12)
(13)
1.
Ограничимся первым приближением
`
(14)
Рассмотрим:
(15)
2.
Ограничимся вторым приближением
(16)
(17)
Из (12) найдем:
(18)
Подставляя (18) с учетом (16) в (10), получим:
(19)
Теперь подставляем (19) с учетом (16) в (13),
получим:
Коэффициентами при , из-за малости
произведения пренебрегаем
А коэффициенты без обращаются в из-за (14)
подставляя
(17), найдем
(20)
Подставляя (18) в (11) с учетом (16), получим:
(21)
Теперь подставляем (21) с учетом (16) в (13),
получим:
Коэффициентами при , из-за малости
произведения пренебрегаем
А коэффициенты без обращаются в из-за (15)
(22)
3.
Ограничимся третьим приближением
(23)
Подставляя (18) с учетом (23) в (10), получим:
(24)
Теперь подставляем (24) с учетом (23) в (13),
получим
Коэффициентами при ,, из-за малости
произведения пренебрегаем
А коэффициенты без обращаются в из-за (14), а с- из-за (18)
(25)
Подставляя (18) в (11) с учетом (23), получим:
(26)
Теперь подставляем (26) с учетом (23) в (13),
получим:
Коэффициентами при ,, из-за малости
произведения пренебрегаем
А коэффициенты без обращаются в из-за (15), а с- из-за (22)
(27)
Анализ
и показывает, что и дейсвительные
коэффициенты, а - мнимые.
Список литературы:
1.
Т. Д. Шермергор “Теория упругости микронеоднородных сред” М., “Наука”, 1977.
2.
Г.А. Шаталов “Эффективные характеристики изотропных композитов как задача
многих тел”
МКМ, №1, 1985.
|
